حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{4} \sin^{2} (x) d x$

خطوة 1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{4} \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} 1 - \cos (2 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{4} d x + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - \cos (2 x) d x)$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{4} \cos (2 x) d x)$

خطوة 6

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 6.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 6.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 4$

خطوة 6.5

اضرب $2$ في $4$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

خطوة 6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 7

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \int_{0}^{8} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 8

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{8} \cos (u) d u))$

خطوة 9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{4} - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

خطوة 10

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

احسِب قيمة $x$ في $4$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{8})$

خطوة 10.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $8$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((4) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (8)) - \sin (0)))$

خطوة 10.3

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - \sin (0)))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) - 0))$

خطوة 11.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} (\sin (8) + 0))$

خطوة 11.3

أضف $\sin (8)$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{2} \sin (8))$

خطوة 11.4

اجمع $\sin (8)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{\sin (8)}{2})$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احسِب قيمة $\sin (8)$ .

$\frac{1}{2} (4 - \frac{0.98935824}{2})$

خطوة 12.2

اقسِم $0.98935824$ على $2$ .

$\frac{1}{2} (4 - 1 \cdot 0.49467912)$

خطوة 12.3

اضرب $- 1$ في $0.49467912$ .

$\frac{1}{2} (4 - 0.49467912)$

خطوة 12.4

اطرح $0.49467912$ من $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 3.50532087$

خطوة 12.5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $3.50532087$ .

$\frac{3.50532087}{2}$

خطوة 12.6

اقسِم $3.50532087$ على $2$ .

$1.75266043$