حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sin (x) \cos (x) d x$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (x) \cos (x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \sin (x)$ . إذن $d u = \cos (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \sin (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

خطوة 2.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{4})$

خطوة 2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$4 \int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} u d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}})$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $\frac{\sqrt{2}}{2}$ وفي $0$ .

$4 ((\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

خطوة 5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

خطوة 5.2.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} - 0)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$4 (\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2} + 0)$

خطوة 5.2.4

أضف $\frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$ و $0$ .

$4 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$2 (2) \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 6.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 2 \frac{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}{2}$

خطوة 6.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

خطوة 6.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

خطوة 6.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2^{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 6.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

خطوة 6.4

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

خطوة 6.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

خطوة 6.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

خطوة 6.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

خطوة 6.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2^{1}}{2}$

خطوة 6.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{2}{2}$

خطوة 6.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$1$