حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 2 \sin (π - x) d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin (π - x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = π - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = π - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $π - x$ .

$\frac{d}{d x} [π - x]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $π - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [π] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 2.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = π - x$ .

$u_{lower} = π - 0$

خطوة 2.3

اطرح $0$ من $π$ .

$u_{lower} = π$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = π - x$ .

$u_{upper} = π - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.2

اجمع $π$ و $\frac{4}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 2.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$u_{upper} = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 2.5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.4.1

انقُل $4$ إلى يسار $π$ .

$u_{upper} = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

خطوة 2.5.4.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = π$

$u_{upper} = \frac{3 π}{4}$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} - \sin (u) d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (- \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u)$

خطوة 4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \int_{π}^{\frac{3 π}{4}} \sin (u) d u$

خطوة 5

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$- 2 (- \cos (u)]_{π}^{\frac{3 π}{4}})$

خطوة 6

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $\frac{3 π}{4}$ وفي $π$ .

$- 2 (- \cos (\frac{3 π}{4}) + \cos (π))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- 2 (- - \cos (\frac{π}{4}) + \cos (π))$

خطوة 7.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

خطوة 7.1.3

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- 2 (1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

خطوة 7.1.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (π))$

خطوة 7.1.4

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (0))$

خطوة 7.1.5

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1)$

خطوة 7.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 (\frac{\sqrt{2}}{2} - 1)$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

خطوة 7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

خطوة 7.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot - 1$

خطوة 7.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \sqrt{2} - 2 \cdot - 1$

خطوة 7.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 2$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \sqrt{2} + 2$

الصيغة العشرية:

$0.58578643 \dots$