حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{3} (x) \sec^{2} (x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \tan (x)$ .

$u_{lower} = \tan (0)$

خطوة 1.3

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \tan (x)$ .

$u_{upper} = \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} u^{3} d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{0}^{1}$

خطوة 3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{4} u^{4}$ في $1$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2.2

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4}$

خطوة 3.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0$

خطوة 3.2.4

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} + 0 (\frac{1}{4})$

خطوة 3.2.5

اضرب $0$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} + 0$

خطوة 3.2.6

أضف $\frac{1}{4}$ و $0$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{4}$

الصيغة العشرية:

$0.25$