حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} \frac{\sec^{2} (2 x)}{3 + \tan (2 x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . إذن $d u_{2} = 2 \sec^{2} (2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = \sec^{2} (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 + \tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [3 + \tan (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + \tan (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.1.2

مشتق $\tan (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 + \sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

خطوة 1.1.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $\sec^{2} (2 x)$ .

$0 + 2 \sec^{2} (2 x)$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $2 \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (2 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 3 + \tan (0)$

خطوة 1.3.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 3 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $3$ و $0$ .

$u_{lower} = 3$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = 3 + \tan (2 x)$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{8})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 (4)})$

خطوة 1.5.1.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 3 + \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 4})$

خطوة 1.5.1.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = 3 + \tan (\frac{π}{4})$

خطوة 1.5.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

خطوة 1.5.2

أضف $3$ و $1$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{u_{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $u_{2}$ .

$\int_{3}^{4} \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{3}^{4} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)]_{3}^{4}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\ln (| u_{2} |)$ في $4$ وفي $3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 4 |) - \ln (| 3 |))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})}{2}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{| 3 |})}{2}$

خطوة 7.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln (\frac{4}{3})}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.14384103 \dots$