حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \cos^{- 6} (2 x) \sin (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . إذن $d u_{2} = - 2 \sin (2 x) d x$ ، لذا $- \frac{1}{2} d u_{2} = \sin (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \cos (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\cos (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \sin (2 x) \cdot 1$

خطوة 1.1.3.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2 \sin (2 x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{lower} = \cos (2 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = \cos (2 x)$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{6})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 (3)})$

خطوة 1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

خطوة 1.5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 6} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 6} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

خطوة 2.2

اجمع ${u_{2}}^{- 6}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{{u_{2}}^{- 6}}{2} d u_{2}$

خطوة 2.3

انقُل ${u_{2}}^{- 6}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2 {u_{2}}^{6}} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 {u_{2}}^{6}} d u_{2}$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{{u_{2}}^{6}} d u_{2})$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل ${u_{2}}^{6}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {({u_{2}}^{6})}^{- 1} d u_{2}$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${({u_{2}}^{6})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{6 \cdot - 1} d u_{2}$

خطوة 5.2.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{1}{2}} {u_{2}}^{- 6} d u_{2}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل ${u_{2}}^{- 6}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}]_{1}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{5} {u_{2}}^{- 5}$ في $\frac{1}{2}$ وفي $1$ .

$- \frac{1}{2} ((- \frac{1}{5} {(\frac{1}{2})}^{- 5}) + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{5} \cdot 2^{5} + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

خطوة 7.2.2

ارفع $2$ إلى القوة $5$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{1}{5} \cdot 32 + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

خطوة 7.2.3

اضرب $32$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} (- 32 (\frac{1}{5}) + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

خطوة 7.2.4

اجمع $- 32$ و $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{- 32}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

خطوة 7.2.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} (- \frac{32}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1^{- 5})$

خطوة 7.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{2} (- \frac{32}{5} + \frac{1}{5} \cdot 1)$

خطوة 7.2.7

اضرب $\frac{1}{5}$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} (- \frac{32}{5} + \frac{1}{5})$

خطوة 7.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 32 + 1}{5}$

خطوة 7.2.9

أضف $- 32$ و $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{- 31}{5}$

خطوة 7.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} (- \frac{31}{5})$

خطوة 7.2.11

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2}) \frac{31}{5}$

خطوة 7.2.12

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{31}{5}$

خطوة 7.2.13

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{31}{5}$ .

$\frac{31}{2 \cdot 5}$

خطوة 7.2.14

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{31}{10}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{31}{10}$

الصيغة العشرية:

$3.1$

صيغة العدد الذي به كسر:

$3 \frac{1}{10}$