حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{0.9} \cos (\sqrt{6 x}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 6 x$ . إذن $d u_{1} = 6 d x$ ، لذا $\frac{1}{6} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 6 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $6$ في $1$ .

$6$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = 6 x$ .

$u_{lower} = 6 \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $6$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = 6 x$ .

$u_{upper} = 6 \cdot 0.9$

خطوة 1.5

اضرب $6$ في $0.9$ .

$u_{upper} = 5.4$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5.4$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) \frac{1}{6} d u_{1}$

خطوة 2

اجمع $\cos (\sqrt{u_{1}})$ و $\frac{1}{6}$ .

$\int_{0}^{5.4} \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{6} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{6}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} \int_{0}^{5.4} \cos (\sqrt{u_{1}}) d u_{1}$

خطوة 4

لنفترض أن $u_{2} = \sqrt{u_{1}}$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ ، لذا $2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

$\frac{1}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} 2 u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{6} (2 \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{2}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6.2

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{5.4}} u_{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 7

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int w d v = w v - \int v d w$ ، حيث $w = u_{2}$ و $dv = \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - \int_{0}^{\sqrt{5.4}} \sin (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 8

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{3} (u_{2} \sin (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}} - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $u_{2} \sin (u_{2})$ في $\sqrt{5.4}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - (- \cos (u_{2})]_{0}^{\sqrt{5.4}}))$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $- \cos (u_{2})$ في $\sqrt{5.4}$ وفي $0$ .

$\frac{1}{3} ((\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})) + 0 \sin (0) - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $0$ في $\sin (0)$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) + 0 - ((- \cos (\sqrt{5.4})) + \cos (0)))$

خطوة 9.3.2

أضف $\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4})$ و $0$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + \cos (0)))$

خطوة 10

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \sin (\sqrt{5.4}) - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $\sin (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (\sqrt{5.4} \cdot 0.72964498 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

خطوة 11.2

اضرب $\sqrt{5.4}$ في $0.72964498$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- \cos (\sqrt{5.4}) + 1))$

خطوة 11.3

احسِب قيمة $\cos (\sqrt{5.4})$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (- - 0.68382614 + 1))$

خطوة 11.4

اضرب $- 1$ في $- 0.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - (0.68382614 + 1))$

خطوة 11.5

أضف $0.68382614$ و $1$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1 \cdot 1.68382614)$

خطوة 11.6

اضرب $- 1$ في $1.68382614$ .

$\frac{1}{3} (1.69554172 - 1.68382614)$

خطوة 11.7

اطرح $1.68382614$ من $1.69554172$ .

$\frac{1}{3} \cdot 0.01171557$

خطوة 11.8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $0.01171557$ .

$\frac{0.01171557}{3}$

خطوة 11.9

اقسِم $0.01171557$ على $3$ .

$0.00390519$