حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} x^{7} \sqrt{1 - x^{8}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 - x^{8}$ . إذن $d u = - 8 x^{7} d x$ ، لذا $- \frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 - x^{8}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x^{8}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{8}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x^{8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{8}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{8}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{8}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{8}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$0 - (8 x^{7})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $8$ في $- 1$ .

$0 - 8 x^{7}$

خطوة 1.1.4

اطرح $8 x^{7}$ من $0$ .

$- 8 x^{7}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{8}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 - 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 - x^{8}$ .

$u_{upper} = 1 - 1^{8}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} \frac{1}{- 8} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{0} \sqrt{u} (- \frac{1}{8}) d u$

خطوة 2.2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{8}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{1}^{0} \frac{\sqrt{u}}{8} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$- (\frac{1}{8} \int_{1}^{0} \sqrt{u} d u)$

خطوة 5

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \int_{1}^{0} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{8} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{0}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $0$ وفي $1$ .

$- \frac{1}{8} ((\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$- \frac{1}{8} (\frac{2}{3} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.5

اضرب $\frac{2}{3}$ في $0$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

خطوة 7.2.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3} \cdot 1)$

خطوة 7.2.7

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{8} (0 - \frac{2}{3})$

خطوة 7.2.8

اطرح $\frac{2}{3}$ من $0$ .

$- \frac{1}{8} (- \frac{2}{3})$

خطوة 7.2.9

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{8}) \frac{2}{3}$

خطوة 7.2.10

اضرب $\frac{1}{8}$ في $1$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3}$

خطوة 7.2.11

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{8 \cdot 3}$

خطوة 7.2.12

اضرب $8$ في $3$ .

$\frac{2}{24}$

خطوة 7.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1)}{24}$

خطوة 7.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $24$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

خطوة 7.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 12}$

خطوة 7.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{12}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{12}$

الصيغة العشرية:

$0.08\overline{3}$

خطوة 9