حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \tan^{2} (\frac{π}{4} y) d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{π}{4} y$ . إذن $d u = \frac{π}{4} d y$ ، لذا $\frac{4}{π} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{π}{4} y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{π}{4} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{π}{4} y]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{π}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $\frac{π}{4} y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{π}{4} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{π}{4} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{π}{4}$ في $1$ .

$\frac{π}{4}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{lower} = \frac{π}{4} \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $\frac{π}{4}$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = \frac{π}{4} y$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4} \cdot 1$

خطوة 1.5

اضرب $\frac{π}{4}$ في $1$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{π}{4}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{π}{4}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) (1 \frac{4}{π}) d u$

خطوة 2.2

اضرب $\frac{4}{π}$ في $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) \frac{4}{π} d u$

خطوة 2.3

اجمع $\tan^{2} (u)$ و $\frac{4}{π}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{\tan^{2} (u) \cdot 4}{π} d u$

خطوة 2.4

انقُل $4$ إلى يسار $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{4 \tan^{2} (u)}{π} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{4}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{4}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} \tan^{2} (u) d u$

خطوة 4

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\tan^{2} (u)$ بحيث تصبح $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$\frac{4}{π} \int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{4}{π} (\int_{0}^{\frac{π}{4}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

خطوة 6

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u)$

خطوة 7

بما أن مشتق $\tan (u)$ هو $\sec^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u)$ هو $\tan (u)$ .

$\frac{4}{π} (- u]_{0}^{\frac{π}{4}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

خطوة 8

اجمع $- u]_{0}^{\frac{π}{4}}$ و $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$ .

$\frac{4}{π} - u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}}$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $- u + \tan (u)$ في $\frac{π}{4}$ وفي $0$ .

$\frac{4}{π} ((- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4})) - (- 0 + \tan (0)))$

خطوة 9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - (0 + \tan (0)))$

خطوة 9.2.2

أضف $0$ و $\tan (0)$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + \tan (\frac{π}{4}) - \tan (0))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{4})$ هي $1$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - \tan (0))$

خطوة 10.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (0)$ هي $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 - 0)$

خطوة 10.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1 + 0)$

خطوة 10.4

أضف $- \frac{π}{4} + 1$ و $0$ .

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4} + 1)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4}{π} (- \frac{π}{4}) + \frac{4}{π} \cdot 1$

خطوة 11.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{4}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

خطوة 11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{4} + \frac{4}{π} \cdot 1$

خطوة 11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (- π) + \frac{4}{π} \cdot 1$

خطوة 11.3

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أخرِج العامل $π$ من $- π$ .

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

خطوة 11.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (π \cdot - 1) + \frac{4}{π} \cdot 1$

خطوة 11.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 + \frac{4}{π} \cdot 1$

خطوة 11.4

اضرب $\frac{4}{π}$ في $1$ .

$- 1 + \frac{4}{π}$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- 1 + \frac{4}{π}$

الصيغة العشرية:

$0.27323954 \dots$