حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \sqrt{t^{4} + 7 t} (4 t^{3} + 7) d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = t^{4} + 7 t$ . إذن $d u = (4 t^{3} + 7) d t$ ، لذا $\frac{1}{4 t^{3} + 7} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = t^{4} + 7 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $t^{4} + 7 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 7 t]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{4} + 7 t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [7 t]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [7 t]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [7 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $7 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 7 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 t^{3} + 7 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $7$ في $1$ .

$4 t^{3} + 7$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{lower} = 0^{4} + 7 \cdot 0$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 7 \cdot 0$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $7$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = t^{4} + 7 t$ .

$u_{upper} = 1^{4} + 7 \cdot 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $7$ في $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

خطوة 1.5.2

أضف $1$ و $7$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 8$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{8} \sqrt{u} d u$

خطوة 2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{8}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $8$ وفي $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $8^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.2

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.3

اضرب الأُسس في ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $3 (\frac{3}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

اجمع $3$ و $\frac{3}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.3.2.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.7

أضف $2$ و $9$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.8

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 4.2.9

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.2.10

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}$

خطوة 4.2.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3}$

خطوة 4.2.11

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0$

خطوة 4.2.12

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0 (\frac{2}{3})$

خطوة 4.2.13

اضرب $0$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} + 0$

خطوة 4.2.14

أضف $\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$ و $0$ .

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

خطوة 5

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2^{\frac{11}{2}}}{3}$

الصيغة العشرية:

$15.08494466 \dots$

خطوة 6