حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} {(3 x - 2)}^{2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x - 2$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x - 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x - 2]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x - 2$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 - 2$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

خطوة 1.3.2

اطرح $2$ من $0$ .

$u_{lower} = - 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x - 2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1 - 2$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $3$ في $1$ .

$u_{upper} = 3 - 2$

خطوة 1.5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 2}^{1} u^{2} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 2}^{1} \frac{u^{2}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{- 2}^{1} u^{2} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{- 2}^{1}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $1$ وفي $- 2$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 1^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

خطوة 5.2.2

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3})$

خطوة 5.2.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8)$

خطوة 5.2.4

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + 8 (\frac{1}{3}))$

خطوة 5.2.5

اجمع $8$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{3} + \frac{8}{3})$

خطوة 5.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 8}{3}$

خطوة 5.2.7

أضف $1$ و $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{3}$

خطوة 5.2.8

احذِف العامل المشترك لـ $9$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.1

أخرِج العامل $3$ من $9$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3}$

خطوة 5.2.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.8.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3 (1)}$

خطوة 5.2.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}$

خطوة 5.2.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{1}$

خطوة 5.2.8.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3$

خطوة 5.2.9

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\frac{3}{3}$

خطوة 5.2.10

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3}$

خطوة 5.2.10.2

أعِد كتابة العبارة.

$1$

خطوة 6