حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{6 t}{t^{2} + 1} d t$

خطوة 1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$6 \int_{0}^{1} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u = t^{2} + 1$ . إذن $d u = 2 t d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = t d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = t^{2} + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

خطوة 2.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$2 t + 0$

خطوة 2.1.5

أضف $2 t$ و $0$ .

$2 t$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = t^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 2.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = t^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 2.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u}$ في $\frac{1}{2}$ .

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u$ .

$6 \int_{1}^{2} \frac{1}{2 u} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$6 (\frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{6}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 \int_{1}^{2} \frac{1}{u} d u$

خطوة 6

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$3 (\ln (| u |)]_{1}^{2})$

خطوة 7

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $2$ وفي $1$ .

$3 (\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 8

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$3 \ln (\frac{| 2 |}{| 1 |})$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$3 \ln (\frac{2}{| 1 |})$

خطوة 9.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$3 \ln (\frac{2}{1})$

خطوة 9.3

اقسِم $2$ على $1$ .

$3 \ln (2)$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$3 \ln (2)$

الصيغة العشرية:

$2.07944154 \dots$

خطوة 11