حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} {(8 y^{2} - y + 1)}^{- \frac{1}{3}} (32 y - 2) d y$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} (32 y - 2) d y$

خطوة 1.2

اضرب $\frac{1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ في $32 y - 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{32 y - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

خطوة 1.3

أخرِج العامل $2$ من $32 y - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أخرِج العامل $2$ من $32 y$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) - 2}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

خطوة 1.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y) + 2 (- 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

خطوة 1.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (16 y) + 2 (- 1)$ .

$\int_{0}^{1} \frac{2 (16 y - 1)}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{1} \frac{16 y - 1}{{(8 y^{2} - y + 1)}^{\frac{1}{3}}} d y$

خطوة 3

لنفترض أن $u = 8 y^{2} - y + 1$ . إذن $d u = (16 y - 1) d y$ ، لذا $\frac{1}{16 y - 1} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = 8 y^{2} - y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $8 y^{2} - y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2} - y + 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 y^{2} - y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [8 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [8 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.3.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $8 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $8 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$8 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$8 (2 y) + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.1.3.3

اضرب $2$ في $8$ .

$16 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$16 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$16 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.1.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$16 y - 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.5.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$16 y - 1 + 0$

خطوة 3.1.5.2

أضف $16 y - 1$ و $0$ .

$16 y - 1$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{lower} = 8 \cdot 0^{2} - 0 + 1$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 8 \cdot 0 - 0 + 1$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $8$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 - 0 + 1$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

خطوة 3.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 3.3.3

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = 8 y^{2} - y + 1$ .

$u_{upper} = 8 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1 + 1$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 8 \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 1$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $8$ في $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 \cdot 1 + 1$

خطوة 3.5.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = 8 - 1 + 1$

خطوة 3.5.2

اطرح $1$ من $8$ .

$u_{upper} = 7 + 1$

خطوة 3.5.3

أضف $7$ و $1$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{1}^{8} \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $u^{\frac{1}{3}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $- 1$ .

$2 \int_{1}^{8} u^{\frac{- 1}{3}} d u$

خطوة 4.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 \int_{1}^{8} u^{- \frac{1}{3}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}]_{1}^{8})$

خطوة 6

اجمع $\frac{3}{2}$ و $u^{\frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}]_{1}^{8})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$ في $8$ وفي $1$ .

$2 ((\frac{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}{2}) - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$2 (\frac{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{3 \cdot 2^{2}}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$2 (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.5

اضرب $3$ في $4$ .

$2 (\frac{12}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 (1)} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 (\frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 (\frac{6}{1} - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.6.2.4

اقسِم $6$ على $1$ .

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1^{\frac{2}{3}}}{2})$

خطوة 7.2.7

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 (6 - \frac{3 \cdot 1}{2})$

خطوة 7.2.8

اضرب $3$ في $1$ .

$2 (6 - \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.9

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.10

اجمع $6$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

خطوة 7.2.11

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

خطوة 7.2.12

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.12.1

اضرب $6$ في $2$ .

$2 \frac{12 - 3}{2}$

خطوة 7.2.12.2

اطرح $3$ من $12$ .

$2 (\frac{9}{2})$

خطوة 7.2.13

اجمع $2$ و $\frac{9}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

خطوة 7.2.14

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{18}{2}$

خطوة 7.2.15

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.15.1

أخرِج العامل $2$ من $18$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2}$

خطوة 7.2.15.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.15.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 9}{2 (1)}$

خطوة 7.2.15.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.2.15.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9}{1}$

خطوة 7.2.15.2.4

اقسِم $9$ على $1$ .

$9$

خطوة 8