حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} z^{2} \ln (z) d z$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = \ln (z)$ و $d v = z^{2}$ .

$\ln (z) (\frac{1}{3} z^{3})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $z^{3}$ .

$\ln (z) \frac{z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

خطوة 2.2

اجمع $\ln (z)$ و $\frac{z^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{1}{3} z^{3} \frac{1}{z} d z$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{3} \frac{1}{z} d z)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $z^{3}$ و $\frac{1}{z}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{3}}{z} d z)$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $z^{3}$ و $z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $z$ من $z^{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z} d z)$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $z$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z^{1}} d z)$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $z$ من $z^{1}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z \cdot z^{2}}{z \cdot 1} d z)$

خطوة 4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} \frac{z^{2}}{1} d z)$

خطوة 4.2.2.5

اقسِم $z^{2}$ على $1$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - (\frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z)$

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \int_{0}^{2} z^{2} d z$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $z^{2}$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{1}{3} z^{3}$ .

$\frac{\ln (z) z^{3}}{3}]_{0}^{2} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

خطوة 6

احسِب قيمة $\frac{\ln (z) z^{3}}{3}$ في $2$ وفي $0$ .

$(\frac{\ln (2) \cdot 2^{3}}{3}) - \frac{\ln (0) z^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} z^{3}]_{0}^{2}$

خطوة 7

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف