حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} \sin (π x) - (x^{3} - 4 x) d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{2} \sin (π x) d x + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = π x$ . إذن $d u = π d x$ ، لذا $\frac{1}{π} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = π x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$π \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $π$ في $1$ .

$π$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $π$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 2$

خطوة 2.5

انقُل $2$ إلى يسار $π$ .

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

خطوة 3

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{π}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{π} d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

خطوة 5

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2} - (x^{3} - 4 x) d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2} x^{3} - 4 x d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 4 x d x)$

خطوة 10

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{2} x d x)$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}))$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$\frac{1}{π} - \cos (u)]_{0}^{2 π} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $2 π$ وفي $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\frac{x^{4}}{4}$ في $2$ وفي $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}))$

خطوة 13.3

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $2$ وفي $0$ .

$\frac{1}{π} ((- \cos (2 π)) + \cos (0)) - (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.2.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0^{4}}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.4.1

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 (0)}{4} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.4.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - \frac{0}{1} - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 + 0 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.6

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.7

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.8

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.8.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.8.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.8.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0^{2}}{2}))$

خطوة 13.4.9

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{2}))$

خطوة 13.4.10

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.10.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 (0)}{2}))$

خطوة 13.4.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.4.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

خطوة 13.4.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

خطوة 13.4.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - \frac{0}{1}))$

خطوة 13.4.10.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 - 0))$

خطوة 13.4.11

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 (2 + 0))$

خطوة 13.4.12

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 4 \cdot 2)$

خطوة 13.4.13

اضرب $- 4$ في $2$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - (4 - 8)$

خطوة 13.4.14

اطرح $8$ من $4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) - - 4$

خطوة 13.4.15

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + \cos (0)) + 4$

خطوة 14

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (2 π) + 1) + 4$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{1}{π} (- \cos (0) + 1) + 4$

خطوة 15.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 \cdot 1 + 1) + 4$

خطوة 15.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{π} (- 1 + 1) + 4$

خطوة 15.4

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{1}{π} \cdot 0 + 4$

خطوة 15.5

اضرب $\frac{1}{π}$ في $0$ .

$0 + 4$

خطوة 15.6

أضف $0$ و $4$ .

$4$