حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{8 y}} d y$

خطوة 1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اعكِس علامة أُس $e^{8 y}$ وأخرِجها من القاسم.

$\int_{0}^{1} y {(e^{8 y})}^{- 1} d y$

خطوة 1.2

اضرب الأُسس في ${(e^{8 y})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{8 y \cdot - 1} d y$

خطوة 1.2.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 8 y} d y$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = y$ و $d v = e^{- 8 y}$ .

$y (- \frac{1}{8} e^{- 8 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $e^{- 8 y}$ و $\frac{1}{8}$ .

$y (- \frac{e^{- 8 y}}{8})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

خطوة 3.2

اجمع $y$ و $\frac{e^{- 8 y}}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{8} e^{- 8 y} d y$

خطوة 4

بما أن $- \frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، انقُل $- \frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y)$

خطوة 5.2

اضرب $\frac{1}{8}$ في $1$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{1} e^{- 8 y} d y$

خطوة 6

لنفترض أن $u = - 8 y$ . إذن $d u = - 8 d y$ ، لذا $- \frac{1}{8} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = - 8 y$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $- 8 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 8 y]$

خطوة 6.1.2

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 8 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1$

خطوة 6.1.4

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- 8$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = - 8 y$ .

$u_{lower} = - 8 \cdot 0$

خطوة 6.3

اضرب $- 8$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = - 8 y$ .

$u_{upper} = - 8 \cdot 1$

خطوة 6.5

اضرب $- 8$ في $1$ .

$u_{upper} = - 8$

خطوة 6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 8$

خطوة 6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} \frac{1}{- 8} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} (- \frac{1}{8}) d u$

خطوة 7.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} - \frac{e^{u}}{8} d u$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- \int_{0}^{- 8} \frac{e^{u}}{8} d u)$

خطوة 9

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} + \frac{1}{8} (- (\frac{1}{8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{8 \cdot 8} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

خطوة 10.2

اضرب $8$ في $8$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} \int_{0}^{- 8} e^{u} d u$

خطوة 11

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 8 y}}{8}]_{0}^{1} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

خطوة 12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احسِب قيمة $- \frac{y e^{- 8 y}}{8}$ في $1$ وفي $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} e^{u}]_{0}^{- 8}$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 8$ وفي $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 8 \cdot 1}}{8}) + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اضرب $- 8$ في $1$ .

$- \frac{1 e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.2

اضرب $e^{- 8}$ في $1$ .

$- \frac{e^{- 8}}{8} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.3

انقُل $e^{- 8}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{- 8 \cdot 0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.4

اضرب $- 8$ في $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 e^{0}}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.5

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0 \cdot 1}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.6

اضرب $0$ في $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.7.1

أخرِج العامل $8$ من $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 (0)}{8} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.7.2.1

أخرِج العامل $8$ من $8$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{8 \cdot 0}{8 \cdot 1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.7.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + 0 - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.8

أضف $- \frac{1}{8 e^{8}}$ و $0$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} ((e^{- 8}) - e^{0})$

خطوة 12.3.9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1 \cdot 1)$

خطوة 12.3.10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$

خطوة 12.3.11

لكتابة $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) \cdot \frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.12

اجمع $- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1)$ و $\frac{8 e^{8}}{8 e^{8}}$ .

$- \frac{1}{8 e^{8}} + \frac{- \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 1 - \frac{1}{64} (e^{- 8} - 1) (8 e^{8})}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.14

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{- 1 - 8 (\frac{1}{64}) (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.15

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8}{64} (e^{- 8} - 1) e^{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.16

اجمع $e^{8}$ و $\frac{- 8}{64}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{8} \cdot - 8}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.17

انقُل $- 8$ إلى يسار $e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 8 \cdot e^{8}}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.18

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $64$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.18.1

أخرِج العامل $8$ من $- 8 e^{8}$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{64} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.18.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.18.2.1

أخرِج العامل $8$ من $64$ .

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 (8)} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 + \frac{8 (- e^{8})}{8 \cdot 8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

خطوة 12.3.19

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- 1 - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

خطوة 13.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

خطوة 13.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (\frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1))}{8 e^{8}}$

خطوة 13.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} (e^{- 8} - 1)}{8 e^{8}}$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{1 + \frac{e^{8}}{8} e^{- 8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.2

اضرب $\frac{e^{8}}{8} e^{- 8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.2.1

اجمع $\frac{e^{8}}{8}$ و $e^{- 8}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{8} e^{- 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.2.2

اضرب $e^{8}$ في $e^{- 8}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{1 + \frac{e^{8 - 8}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.2.2.2

اطرح $8$ من $8$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.2.3

بسّط $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8}}{8} \cdot - 1}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.3

اجمع $\frac{e^{8}}{8}$ و $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{e^{8} \cdot - 1}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.4.1

انقُل $- 1$ إلى يسار $e^{8}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1 + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$- \frac{\frac{8}{8} + \frac{1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\frac{8 + 1}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.7

أضف $8$ و $1$ .

$- \frac{\frac{9}{8} - \frac{e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{\frac{9 - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1.9.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - e^{8}}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.9.2

أعِد كتابة $e^{8}$ بالصيغة ${(e^{4})}^{2}$ .

$- \frac{\frac{3^{2} - {(e^{4})}^{2}}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.1.9.3

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = e^{4}$ .

$- \frac{\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8}}{8 e^{8}}$

خطوة 14.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- (\frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8} \cdot \frac{1}{8 e^{8}})$

خطوة 14.3

اجمع.

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4}) \cdot 1}{8 (8 e^{8})}$

خطوة 14.4

اضرب $3 + e^{4}$ في $1$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8 \cdot 8 e^{8}}$

خطوة 14.5

اضرب $8$ في $8$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{8^{2} e^{8}}$

خطوة 14.6

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{(3 + e^{4}) (3 - e^{4})}{64 e^{8}}$

الصيغة العشرية:

$0.01557782 \dots$

خطوة 16