حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} 11 x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

خطوة 1

بما أن $11$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $11$ خارج التكامل.

$11 \int_{0}^{1} x^{10} {(1 + x^{11})}^{10} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 1 + x^{11}$ . إذن $d u = 11 x^{10} d x$ ، لذا $\frac{1}{11} d u = x^{10} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 1 + x^{11}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{11}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{11}]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{11}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

خطوة 2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{11}]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 11$ .

$0 + 11 x^{10}$

خطوة 2.1.5

أضف $0$ و $11 x^{10}$ .

$11 x^{10}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{11}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x^{11}$ .

$u_{upper} = 1 + 1^{11}$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1 + 1$

خطوة 2.5.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$11 \int_{1}^{2} u^{10} \frac{1}{11} d u$

خطوة 3

اجمع $u^{10}$ و $\frac{1}{11}$ .

$11 \int_{1}^{2} \frac{u^{10}}{11} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{11}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{11}$ خارج التكامل.

$11 (\frac{1}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{11}$ و $11$ .

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{11}{11} \int_{1}^{2} u^{10} d u$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int_{1}^{2} u^{10} d u$

خطوة 5.3

اضرب $\int_{1}^{2} u^{10} d u$ في $1$ .

$\int_{1}^{2} u^{10} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{10}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{11} u^{11}$ .

$\frac{1}{11} u^{11}]_{1}^{2}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{1}{11} u^{11}$ في $2$ وفي $1$ .

$(\frac{1}{11} \cdot 2^{11}) - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $11$ .

$\frac{1}{11} \cdot 2048 - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

خطوة 7.2.2

اجمع $\frac{1}{11}$ و $2048$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1^{11}$

خطوة 7.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11} \cdot 1$

خطوة 7.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2048}{11} - \frac{1}{11}$

خطوة 7.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2048 - 1}{11}$

خطوة 7.2.6

اطرح $1$ من $2048$ .

$\frac{2047}{11}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2047}{11}$

الصيغة العشرية:

$186.\overline{09}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$186 \frac{1}{11}$

خطوة 9