حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{1} \sin (3 π t) d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 π t$ . إذن $d u = 3 π d t$ ، لذا $\frac{1}{3 π} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 π t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 π t$ .

$\frac{d}{d t} [3 π t]$

خطوة 1.1.2

بما أن $3 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 π t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 π \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 π \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3 π$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 3 π t$ .

$u_{lower} = 3 π \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $3 π \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $0$ في $3$ .

$u_{lower} = 0 π$

خطوة 1.3.2

اضرب $0$ في $π$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 3 π t$ .

$u_{upper} = 3 π \cdot 1$

خطوة 1.5

اضرب $3$ في $1$ .

$u_{upper} = 3 π$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3 π$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{3 π} \sin (u) \frac{1}{3 π} d u$

خطوة 2

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{3 π}$ .

$\int_{0}^{3 π} \frac{\sin (u)}{3 π} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3 π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3 π}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3 π} \int_{0}^{3 π} \sin (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3 π} - \cos (u)]_{0}^{3 π}$

خطوة 5

احسِب قيمة $- \cos (u)$ في $3 π$ وفي $0$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + \cos (0))$

خطوة 6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (3 π) + 1)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{1}{3 π} (- \cos (π) + 1)$

خطوة 7.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$\frac{1}{3 π} (- - \cos (0) + 1)$

خطوة 7.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- (- 1 \cdot 1) + 1)$

خطوة 7.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{3 π} (- - 1 + 1)$

خطوة 7.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3 π} (1 + 1)$

خطوة 7.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{3 π} \cdot 2$

خطوة 7.7

اجمع $\frac{1}{3 π}$ و $2$ .

$\frac{2}{3 π}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{2}{3 π}$

الصيغة العشرية:

$0.21220659 \dots$