حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{8} {(\frac{2 - 3 x}{4})}^{2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . إذن $d u = - \frac{3}{4} d x$ ، لذا $- \frac{4}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{2 - 3 x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 - 3 x}{4}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 - 3 x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

خطوة 1.1.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 1.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

خطوة 1.1.6

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.7.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.7.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{3}{4} \cdot 1$

خطوة 1.1.9

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{3}{4}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{2 - 3 \cdot 0}{4}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $2 - 3 \cdot 0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 0}{4}$

خطوة 1.3.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)}{4}$

خطوة 1.3.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- 2) - (3 \cdot 0)$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 0)}{4}$

خطوة 1.3.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)}{4}$

خطوة 1.3.1.5

أخرِج العامل $2$ من $- 1 (- 2 + 0 \cdot 3)$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{4}$

خطوة 1.3.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 (2)}$

خطوة 1.3.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = \frac{2 (- 1 (- 1 + 0 \cdot 3))}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.3.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0 \cdot 3)}{2}$

خطوة 1.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

اضرب $0$ في $3$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 (- 1 + 0)}{2}$

خطوة 1.3.2.2

أضف $- 1$ و $0$ .

$u_{lower} = \frac{- 1 \cdot - 1}{2}$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{2 - 3 x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{2 - 3 \cdot 8}{4}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

احذِف العامل المشترك لـ $2 - 3 \cdot 8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - 3 \cdot 8}{4}$

خطوة 1.5.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 \cdot 8$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)}{4}$

خطوة 1.5.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (- 2) - (3 \cdot 8)$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (- 2 + 3 \cdot 8)}{4}$

خطوة 1.5.1.4

أعِد ترتيب الحدود.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 8 - 2)}{4}$

خطوة 1.5.1.5

أخرِج العامل $2$ من $- 1 (3 \cdot 8 - 2)$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{4}$

خطوة 1.5.1.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 (2)}$

خطوة 1.5.1.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{2 (- 1 (3 \cdot 4 - 1))}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.5.1.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{- 1 (3 \cdot 4 - 1)}{2}$

خطوة 1.5.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.2.1

اضرب $3$ في $4$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 (12 - 1)}{2}$

خطوة 1.5.2.2

اطرح $1$ من $12$ .

$u_{upper} = \frac{- 1 \cdot 11}{2}$

خطوة 1.5.3

اضرب $- 1$ في $11$ .

$u_{upper} = \frac{- 11}{2}$

خطوة 1.5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = \frac{1}{2}$

$u_{upper} = - \frac{11}{2}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{- 1}{- \frac{3}{4}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{1}{\frac{3}{4}} d u$

خطوة 2.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{3}{4}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} (1 (\frac{4}{3})) d u$

خطوة 2.3

اضرب $\frac{4}{3}$ في $1$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - u^{2} \frac{4}{3} d u$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{4}{3}$ و $u^{2}$ .

$\int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} - \frac{4 u^{2}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} \frac{4 u^{2}}{3} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{4}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{4}{3}$ خارج التكامل.

$- (\frac{4}{3} \int_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}} u^{2} d u)$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{4}{3} \frac{1}{3} u^{3}]_{\frac{1}{2}}^{- \frac{11}{2}}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $- \frac{11}{2}$ وفي $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} ((\frac{1}{3} {(- \frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- \frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} {(- (\frac{11}{2}))}^{3} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $- (\frac{11}{2})$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

خطوة 6.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- {(\frac{11}{2})}^{3}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{11}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{11^{3}}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

خطوة 7.1.2

ارفع $11$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{2^{3}}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

خطوة 7.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{4}{3} (\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8}) - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

خطوة 7.1.4

اضرب $\frac{1}{3} (- \frac{1331}{8})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.4.1

اضرب $\frac{1}{3}$ في $\frac{1331}{8}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{3 \cdot 8} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

خطوة 7.1.4.2

اضرب $3$ في $8$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3})$

خطوة 7.1.5

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}})$

خطوة 7.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2^{3}})$

خطوة 7.1.7

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8})$

خطوة 7.1.8

اضرب $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.8.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{8 \cdot 3})$

خطوة 7.1.8.2

اضرب $8$ في $3$ .

$- \frac{4}{3} (- \frac{1331}{24} - \frac{1}{24})$

خطوة 7.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1331 - 1}{24}$

خطوة 7.3

اطرح $1$ من $- 1331$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

خطوة 7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{3}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

خطوة 7.4.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{4 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 1332}{24}$

خطوة 7.4.3

أخرِج العامل $4$ من $24$ .

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

خطوة 7.4.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{4 \cdot 6}$

خطوة 7.4.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{- 1332}{6}$

خطوة 7.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أخرِج العامل $3$ من $- 1332$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (- 444)}{6}$

خطوة 7.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot - 444}{6}$

خطوة 7.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{- 444}{6}$

خطوة 7.6

اقسِم $- 444$ على $6$ .

$- - 74$

خطوة 7.7

اضرب $- 1$ في $- 74$ .

$74$

خطوة 8