حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{8} x e^{1 - x} d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = e^{1 - x}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - e^{1 - x} d x$

خطوة 2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - - \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + 1 \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

خطوة 3.2

اضرب $\int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$ في $1$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{0}^{8} e^{1 - x} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 1 - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 1 - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 4.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

خطوة 4.1.3.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$0 - 1$

خطوة 4.1.4

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1$

خطوة 4.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

خطوة 4.3

اطرح $0$ من $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 4.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 8$

خطوة 4.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$u_{upper} = 1 - 8$

خطوة 4.5.2

اطرح $8$ من $1$ .

$u_{upper} = - 7$

خطوة 4.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = - 7$

خطوة 4.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} + \int_{1}^{- 7} - e^{u} d u$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - \int_{1}^{- 7} e^{u} d u$

خطوة 6

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$x (- e^{1 - x})]_{0}^{8} - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $x (- e^{1 - x})$ في $8$ وفي $0$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - (e^{u}]_{1}^{- 7})$

خطوة 7.2

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 7$ وفي $1$ .

$(8 (- e^{1 - 1 \cdot 8})) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$8 (- e^{1 - 8}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3.2

اطرح $8$ من $1$ .

$8 (- e^{- 7}) + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3.3

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 - 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1 + 0}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3.5

أضف $1$ و $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e^{1}) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3.6

بسّط.

$- 8 e^{- 7} + 0 (- e) - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3.7

اضرب $- 1$ في $0$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 e - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3.8

اضرب $0$ في $e$ .

$- 8 e^{- 7} + 0 - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3.9

أضف $- 8 e^{- 7}$ و $0$ .

$- 8 e^{- 7} - ((e^{- 7}) - e^{1})$

خطوة 7.3.10

بسّط.

$- 8 e^{- 7} - (e^{- 7} - e)$

خطوة 8

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

خطوة 8.2

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{e^{7}}$ .

$\frac{- 8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

خطوة 8.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{e^{7}} - (e^{- 7} - e)$

خطوة 8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} - - e$

خطوة 8.5

اضرب $- - e$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + 1 e$

خطوة 8.5.2

اضرب $e$ في $1$ .

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{8}{e^{7}} - e^{- 7} + e$

الصيغة العشرية:

$2.71007489 \dots$

خطوة 10