حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{7} \frac{3 y^{2} - 2 y + 5}{y^{3} - y^{2} + 5 y + 1} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . إذن $d u = (3 y^{2} - 2 y + 5) d y$ ، لذا $\frac{1}{3 y^{2} - 2 y + 5} d u = d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 5 y + 1]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $5 y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $5$ في $1$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 1.1.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.5.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5 + 0$

خطوة 1.1.5.2

أضف $3 y^{2} - 2 y + 5$ و $0$ .

$3 y^{2} - 2 y + 5$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{lower} = 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 - 0^{2} + 5 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 - 0 + 5 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 5 \cdot 0 + 1$

خطوة 1.3.1.4

اضرب $5$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 0 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

خطوة 1.3.3

أضف $0$ و $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 1.3.4

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = y^{3} - y^{2} + 5 y + 1$ .

$u_{upper} = 7^{3} - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 343 - 7^{2} + 5 \cdot 7 + 1$

خطوة 1.5.1.2

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 343 - 1 \cdot 49 + 5 \cdot 7 + 1$

خطوة 1.5.1.3

اضرب $- 1$ في $49$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 5 \cdot 7 + 1$

خطوة 1.5.1.4

اضرب $5$ في $7$ .

$u_{upper} = 343 - 49 + 35 + 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $49$ من $343$ .

$u_{upper} = 294 + 35 + 1$

خطوة 1.5.3

أضف $294$ و $35$ .

$u_{upper} = 329 + 1$

خطوة 1.5.4

أضف $329$ و $1$ .

$u_{upper} = 330$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 330$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{1}^{330} \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{1}^{330}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $330$ وفي $1$ .

$\ln (| 330 |) - \ln (| 1 |)$

خطوة 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 330 |}{| 1 |})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $330$ تساوي $330$ .

$\ln (\frac{330}{| 1 |})$

خطوة 5.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{330}{1})$

خطوة 5.3

اقسِم $330$ على $1$ .

$\ln (330)$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (330)$

الصيغة العشرية:

$5.79909265 \dots$

خطوة 7