حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\ln (16)} e^{\frac{x}{4}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \frac{x}{4}$ . إذن $d u = \frac{1}{4} d x$ ، لذا $4 d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \frac{x}{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$

خطوة 1.1.2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $\frac{1}{4}$ في $1$ .

$\frac{1}{4}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

خطوة 1.3

اقسِم $0$ على $4$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \frac{x}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (16)}{4}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أعِد كتابة $\ln (16)$ بالصيغة $\ln (2^{4})$ .

$u_{upper} = \frac{\ln (2^{4})}{4}$

خطوة 1.5.2

وسّع $\ln (2^{4})$ بنقل $4$ خارج اللوغاريتم.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

خطوة 1.5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \frac{4 \ln (2)}{4}$

خطوة 1.5.3.2

اقسِم $\ln (2)$ على $1$ .

$u_{upper} = \ln (2)$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (2)$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} (1 \cdot 4) d u$

خطوة 2.2

اضرب $4$ في $1$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} e^{u} \cdot 4 d u$

خطوة 2.3

انقُل $4$ إلى يسار $e^{u}$ .

$\int_{0}^{\ln (2)} 4 e^{u} d u$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{0}^{\ln (2)} e^{u} d u$

خطوة 4

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$4 (e^{u}]_{0}^{\ln (2)})$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $\ln (2)$ وفي $0$ .

$4 ((e^{\ln (2)}) - e^{0})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$4 (2 - e^{0})$

خطوة 5.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$4 (2 - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$4 (2 - 1)$

خطوة 5.2.4

اطرح $1$ من $2$ .

$4 \cdot 1$

خطوة 5.2.5

اضرب $4$ في $1$ .

$4$

خطوة 6