حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{3} m^{2} {(4 m^{3} + 2)}^{3} d m$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 m^{3} + 2$ . إذن $d u = 12 m^{2} d m$ ، لذا $\frac{1}{12} d u = m^{2} d m$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 m^{3} + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d m}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 m^{3} + 2$ .

$\frac{d}{d m} [4 m^{3} + 2]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 m^{3} + 2$ بالنسبة إلى $m$ هو $\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$ .

$\frac{d}{d m} [4 m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d m} [4 m^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $m$ ، إذن مشتق $4 m^{3}$ بالنسبة إلى $m$ يساوي $4 \frac{d}{d m} [m^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d m} [m^{3}] + \frac{d}{d m} [2]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d m} [m^{n}]$ هو $n m^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 m^{2}) + \frac{d}{d m} [2]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 m^{2} + \frac{d}{d m} [2]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $m$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $m$ هو $0$ .

$12 m^{2} + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $12 m^{2}$ و $0$ .

$12 m^{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $m$ في $u = 4 m^{3} + 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{3} + 2$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 2$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2$

خطوة 1.3.2

أضف $0$ و $2$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $m$ في $u = 4 m^{3} + 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3^{3} + 2$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 27 + 2$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $4$ في $27$ .

$u_{upper} = 108 + 2$

خطوة 1.5.2

أضف $108$ و $2$ .

$u_{upper} = 110$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 110$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{110} u^{3} \frac{1}{12} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{12}$ .

$\int_{2}^{110} \frac{u^{3}}{12} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{12}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{12}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{12} \int_{2}^{110} u^{3} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{12} \frac{1}{4} u^{4}]_{2}^{110}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{4} u^{4}$ في $110$ وفي $2$ .

$\frac{1}{12} ((\frac{1}{4} \cdot 110^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $110$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{1}{4} \cdot 146410000 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $146410000$ .

$\frac{1}{12} (\frac{146410000}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $146410000$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $4$ من $146410000$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{12} (\frac{4 \cdot 36602500}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{12} (\frac{36602500}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.2.3.2.4

اقسِم $36602500$ على $1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4})$

خطوة 5.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - \frac{1}{4} \cdot 16)$

خطوة 5.2.5

اضرب $16$ في $- 1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - 16 (\frac{1}{4}))$

خطوة 5.2.6

اجمع $- 16$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 16}{4})$

خطوة 5.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

أخرِج العامل $4$ من $- 16$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4})$

خطوة 5.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)})$

خطوة 5.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1})$

خطوة 5.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{12} (36602500 + \frac{- 4}{1})$

خطوة 5.2.7.2.4

اقسِم $- 4$ على $1$ .

$\frac{1}{12} (36602500 - 4)$

خطوة 5.2.8

اطرح $4$ من $36602500$ .

$\frac{1}{12} \cdot 36602496$

خطوة 5.2.9

اجمع $\frac{1}{12}$ و $36602496$ .

$\frac{36602496}{12}$

خطوة 5.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $36602496$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

أخرِج العامل $12$ من $36602496$ .

$\frac{12 \cdot 3050208}{12}$

خطوة 5.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.2.1

أخرِج العامل $12$ من $12$ .

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 (1)}$

خطوة 5.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 \cdot 3050208}{12 \cdot 1}$

خطوة 5.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3050208}{1}$

خطوة 5.2.10.2.4

اقسِم $3050208$ على $1$ .

$3050208$

خطوة 6