حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{3} 10 x (3^{- x}) d x$

خطوة 1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$10 \int_{0}^{3} x \cdot (3^{- x}) d x$

خطوة 2

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = 3^{- x}$ .

$10 (x (- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $3^{- x}$ و $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (x (- \frac{3^{- x}}{\ln (3)})]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

خطوة 3.2

اجمع $x$ و $\frac{3^{- x}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} d x)$

خطوة 3.3

اجمع $3^{- x}$ و $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \int_{0}^{3} - \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - - \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + 1 \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

خطوة 5.2

اضرب $\int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x$ في $1$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \int_{0}^{3} \frac{3^{- x}}{\ln (3)} d x)$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{\ln (3)}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{\ln (3)}$ خارج التكامل.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{3} 3^{- x} d x)$

خطوة 7

لنفترض أن $u = - x$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 7.1.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

خطوة 7.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

خطوة 7.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 3$

خطوة 7.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$u_{upper} = - 3$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 3$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} \int_{0}^{- 3} - 3^{u} d u)$

خطوة 8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- \int_{0}^{- 3} 3^{u} d u))$

خطوة 9

تكامل $3^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} + \frac{1}{\ln (3)} (- (\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3})))$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{\ln (3)}$ و $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}$ .

$10 (- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}]_{0}^{3} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

خطوة 11

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احسِب قيمة $- \frac{x \cdot 3^{- x}}{\ln (3)}$ في $3$ وفي $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{0}^{- 3}}{\ln (3)})$

خطوة 11.2

احسِب قيمة $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ في $- 3$ وفي $0$ .

$10 ((- \frac{3 \cdot 3^{- 1 \cdot 3}}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot 3^{- 3}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.2

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$10 (- \frac{3 \cdot \frac{1}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.4

اجمع $3$ و $\frac{1}{27}$ .

$10 (- \frac{\frac{3}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.5

احذِف العامل المشترك لـ $3$ و $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$10 (- \frac{\frac{3 (1)}{27}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$10 (- \frac{\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$10 (- \frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.6

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{9}}{\ln (3)}$ في صورة حاصل ضرب.

$10 (- (\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{\ln (3)}) + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.7

اضرب $\frac{1}{9}$ في $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{- 0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.8

اضرب $- 1$ في $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 3^{0}}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.9

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0 \cdot 1}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.10

اضرب $0$ في $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{(\frac{3^{- 3}}{\ln (3)}) - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.11

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.12

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.13

أعِد كتابة $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ في صورة حاصل ضرب.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.14

اضرب $\frac{1}{27}$ في $\frac{1}{\ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{3^{0}}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.15

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)})$

خطوة 11.3.16

اضرب $\frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}$ في $\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)}$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - (\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} \cdot \frac{\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)}}{\ln (3)}))$

خطوة 11.3.17

اجمع.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) (\frac{1}{27 \ln (3)} - \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.18

طبّق خاصية التوزيع.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{27 \ln (3) \frac{1}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.19

اجمع $\frac{1}{27 \ln (3)}$ و $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27}{27 \ln (3)} \ln (3) + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.20

اجمع $\frac{27}{27 \ln (3)}$ و $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.21

ألغِ العامل المشترك لـ $27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.21.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{27 \ln (3)}{27 \ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.21.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.22

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.22.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{\frac{\ln (3)}{\ln (3)} + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.22.2

أعِد كتابة العبارة.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + 27 \ln (3) (- \frac{1}{\ln (3)})}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.23

اضرب $- 1$ في $27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27 \ln (3) \frac{1}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.24

اجمع $\frac{1}{\ln (3)}$ و $- 27$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27}{\ln (3)} \ln (3)}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.25

اجمع $\frac{- 27}{\ln (3)}$ و $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.26

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.26.1

ألغِ العامل المشترك.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 + \frac{- 27 \ln (3)}{\ln (3)}}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.26.2

اقسِم $- 27$ على $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{1 - 27}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.27

اطرح $27$ من $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln (3) \ln (3)})$

خطوة 11.3.28

ارفع $\ln (3)$ إلى القوة $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln (3))})$

خطوة 11.3.29

ارفع $\ln (3)$ إلى القوة $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))})$

خطوة 11.3.30

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 {\ln (3)}^{1 + 1}})$

خطوة 11.3.31

أضف $1$ و $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - \frac{- 26}{27 \ln^{2} (3)})$

خطوة 11.3.32

انقُل السالب أمام الكسر.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} - - \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

خطوة 11.3.33

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + 1 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

خطوة 11.3.34

اضرب $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ في $1$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{0}{\ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اقسِم $0$ على $\ln (3)$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + 0 + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

خطوة 12.2

أضف $- \frac{1}{9 \ln (3)}$ و $0$ .

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)} + \frac{26}{27 \ln^{2} (3)})$

خطوة 12.3

طبّق خاصية التوزيع.

$10 (- \frac{1}{9 \ln (3)}) + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

خطوة 12.4

اضرب $10 (- \frac{1}{9 \ln (3)})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اضرب $- 1$ في $10$ .

$- 10 \frac{1}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

خطوة 12.4.2

اجمع $- 10$ و $\frac{1}{9 \ln (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + 10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$

خطوة 12.5

اضرب $10 \frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

اجمع $10$ و $\frac{26}{27 \ln^{2} (3)}$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{10 \cdot 26}{27 \ln^{2} (3)}$

خطوة 12.5.2

اضرب $10$ في $26$ .

$\frac{- 10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

خطوة 12.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{10}{9 \ln (3)} + \frac{260}{27 \ln^{2} (3)}$

الصيغة العشرية:

$6.96711259 \dots$

خطوة 14