حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{4} {(4 t - 1)}^{2} d t$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 t - 1$ . إذن $d u = 4 d t$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 t - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [4 t - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [4 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$4 + \frac{d}{d t} [- 1]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$4 + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $4$ و $0$ .

$4$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 4 t - 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 - 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $4$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $1$ من $0$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 4 t - 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 4 - 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $4$ في $4$ .

$u_{upper} = 16 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $16$ .

$u_{upper} = 15$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 15$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 1}^{15} u^{2} \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{15} \frac{u^{2}}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{15} u^{2} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{- 1}^{15}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $15$ وفي $- 1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 15^{3}) - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $15$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 3375 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3375$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3375}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

خطوة 5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $3375$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $3375$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 1125}{3} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 1125}{3 (1)} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 1125}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{1125}{1} - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

خطوة 5.2.3.2.4

اقسِم $1125$ على $1$ .

$\frac{1}{4} (1125 - \frac{1}{3} {(- 1)}^{3})$

خطوة 5.2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{4} (1125 - \frac{1}{3} \cdot - 1)$

خطوة 5.2.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} (1125 + 1 (\frac{1}{3}))$

خطوة 5.2.6

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (1125 + \frac{1}{3})$

خطوة 5.2.7

لكتابة $1125$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (1125 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})$

خطوة 5.2.8

اجمع $1125$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1125 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})$

خطوة 5.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1125 \cdot 3 + 1}{3}$

خطوة 5.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

اضرب $1125$ في $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3375 + 1}{3}$

خطوة 5.2.10.2

أضف $3375$ و $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{3376}{3}$

خطوة 5.2.11

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{3376}{3}$ .

$\frac{3376}{4 \cdot 3}$

خطوة 5.2.12

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{3376}{12}$

خطوة 5.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $3376$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.1

أخرِج العامل $4$ من $3376$ .

$\frac{4 (844)}{12}$

خطوة 5.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot 844}{4 \cdot 3}$

خطوة 5.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 844}{4 \cdot 3}$

خطوة 5.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{844}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{844}{3}$

الصيغة العشرية:

$281.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$281 \frac{1}{3}$

خطوة 7