حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{4} \sqrt{25 - y^{2}} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $y = 5 \sin (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d y = 5 \cos (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $5 \cos (t)$ موجبة.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط $\sqrt{25 - {(5 \sin (t))}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $5 \sin (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (5^{2} \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - (25 \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.1.3

اضرب $25$ في $- 1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.2

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) - 25 \sin^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.3

أخرِج العامل $25$ من $- 25 \sin^{2} (t)$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.4

أخرِج العامل $25$ من $25 (1) + 25 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 (1 - \sin^{2} (t))} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.5

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{25 \cos^{2} (t)} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.6

أعِد كتابة $25 \cos^{2} (t)$ بالصيغة ${(5 \cos (t))}^{2}$ .

$\int_{0}^{0.92729521} \sqrt{{(5 \cos (t))}^{2}} (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2.1.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int_{0}^{0.92729521} 5 \cos (t) (5 \cos (t)) d t$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

اضرب $5$ في $5$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos (t) \cos (t) d t$

خطوة 2.2.2

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

خطوة 2.2.3

ارفع $\cos (t)$ إلى القوة $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

خطوة 2.2.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{0}^{0.92729521} 25 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

خطوة 2.2.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int_{0}^{0.92729521} 25 \cos^{2} (t) d t$

خطوة 3

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $25$ خارج التكامل.

$25 \int_{0}^{0.92729521} \cos^{2} (t) d t$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (t)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$25 \int_{0}^{0.92729521} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$25 (\frac{1}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t)$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $25$ .

$\frac{25}{2} \int_{0}^{0.92729521} 1 + \cos (2 t) d t$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{25}{2} (\int_{0}^{0.92729521} d t + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{0.92729521} \cos (2 t) d t)$

خطوة 9

لنفترض أن $u = 2 t$ . إذن $d u = 2 d t$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = 2 t$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

خطوة 9.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 9.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 9.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 9.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 9.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0.92729521$

خطوة 9.5

اضرب $2$ في $0.92729521$ .

$u_{upper} = 1.85459043$

خطوة 9.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1.85459043$

خطوة 9.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 10

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \int_{0}^{1.85459043} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 11

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1.85459043} \cos (u) d u)$

خطوة 12

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{25}{2} (t]_{0}^{0.92729521} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

خطوة 13

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

احسِب قيمة $t$ في $0.92729521$ وفي $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{1.85459043})$

خطوة 13.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $1.85459043$ وفي $0$ .

$\frac{25}{2} ((0.92729521) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (1.85459043)) - \sin (0)))$

خطوة 13.3

أضف $0.92729521$ و $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - \sin (0)))$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) - 0))$

خطوة 14.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} (\sin (1.85459043) + 0))$

خطوة 14.3

أضف $\sin (1.85459043)$ و $0$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{1}{2} \sin (1.85459043))$

خطوة 14.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (1.85459043)$ .

$\frac{25}{2} (0.92729521 + \frac{\sin (1.85459043)}{2})$

خطوة 14.5

أضف $0.92729521$ و $\frac{\sin (1.85459043)}{2}$ .

$\frac{25}{2} \cdot 1.40729521$

خطوة 14.6

اجمع $\frac{25}{2}$ و $1.40729521$ .

$\frac{25 \cdot 1.40729521}{2}$

خطوة 14.7

اضرب $25$ في $1.40729521$ .

$\frac{35.18238045}{2}$

خطوة 15

اقسِم $35.18238045$ على $2$ .

$17.59119022$

خطوة 16