حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2 π} \cos^{2} (x) d x$

خطوة 1

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\cos^{2} (x)$ بحيث تصبح $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 + \cos (2 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{2} (\int_{0}^{2 π} d x + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} \cos (2 x) d x)$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 5.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 5.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

خطوة 5.5

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

خطوة 5.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

خطوة 5.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

خطوة 6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u) d u)$

خطوة 8

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x]_{0}^{2 π} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $x$ في $2 π$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} \sin (u)]_{0}^{4 π})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $4 π$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((2 π) + 0 + \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

خطوة 9.3

أضف $2 π$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

خطوة 10.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

خطوة 10.3

أضف $\sin (4 π)$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{1}{2} \sin (4 π))$

خطوة 10.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $\sin (4 π)$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (4 π)}{2})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{\sin (0)}{2})$

خطوة 11.1.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π + \frac{0}{2})$

خطوة 11.1.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{1}{2} (2 π + 0)$

خطوة 11.2

أضف $2 π$ و $0$ .

$\frac{1}{2} (2 π)$

خطوة 11.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$\frac{1}{2} (2 (π))$

خطوة 11.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (2 π)$

خطوة 11.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$π$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$π$

الصيغة العشرية:

$3.14159265 \dots$