حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} x (x^{2} - 1) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} - 1$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} - 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 0^{2} - 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 0 - 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $1$ من $0$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $4$ .

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 3$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 1}^{3} u \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $u$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 1}^{3} \frac{u}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{- 1}^{3} u d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{3}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u^{2}$ في $3$ وفي $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{2} \cdot 3^{2}) - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2})$

خطوة 5.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1)$

خطوة 5.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1}{2}$

خطوة 5.2.6

اطرح $1$ من $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{2}$

خطوة 5.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2}$

خطوة 5.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

خطوة 5.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{1}$

خطوة 5.2.7.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4$

خطوة 5.2.8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2}$

خطوة 5.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2}$

خطوة 5.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

خطوة 5.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1}$

خطوة 5.2.9.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 6