حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} x \sqrt[3]{4 + x^{2}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 4 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 4 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $4 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 4 + 0^{2}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 4 + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $4$ و $0$ .

$u_{lower} = 4$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 4 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 4 + 2^{2}$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 4 + 4$

خطوة 1.5.2

أضف $4$ و $4$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 8$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt[3]{u}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{4}^{8}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ في $8$ وفي $4$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.5

اجمع $\frac{3}{4}$ و $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.6

اضرب $3$ في $16$ .

$\frac{1}{2} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7

احذِف العامل المشترك لـ $48$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.1

أخرِج العامل $4$ من $48$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.7.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.7.2.4

اقسِم $12$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3}{4} \cdot 4^{\frac{4}{3}})$

خطوة 6.2.8

اجمع $4^{\frac{4}{3}}$ و $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{4^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{4})$

خطوة 6.2.9

انقُل $3$ إلى يسار $4^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{2} (12 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{4}{3}}}{4})$

خطوة 6.2.10

انقُل $4^{1}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{- 1}))$

خطوة 6.2.11

اضرب $4^{\frac{4}{3}}$ في $4^{- 1}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.11.1

انقُل $4^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot (4^{- 1} \cdot 4^{\frac{4}{3}})))$

خطوة 6.2.11.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 + \frac{4}{3}}))$

خطوة 6.2.11.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}}))$

خطوة 6.2.11.4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}}))$

خطوة 6.2.11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}}))$

خطوة 6.2.11.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.11.6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{- 3 + 4}{3}}))$

خطوة 6.2.11.6.2

أضف $- 3$ و $4$ .

$\frac{1}{2} (12 - (3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}))$

خطوة 6.2.12

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (12 - 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} \cdot 12 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (6)) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

خطوة 7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 6) + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

خطوة 7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 + \frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$

خطوة 7.3

اضرب $\frac{1}{2} (- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2}$ .

$6 + \frac{- 3}{2} \cdot 4^{\frac{1}{3}}$

خطوة 7.3.2

اجمع $\frac{- 3}{2}$ و $4^{\frac{1}{3}}$ .

$6 + \frac{- 3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

خطوة 7.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$6 - \frac{3 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

الصيغة العشرية:

$3.61889842 \dots$

خطوة 9