حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{2} 18 {(3 x + 1)}^{5} d x$

خطوة 1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $18$ خارج التكامل.

$18 \int_{0}^{2} {(3 x + 1)}^{5} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 3 x + 1$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 3 x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $3 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 1]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 2.1.4.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 1$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $3$ في $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

خطوة 2.3.2

أضف $0$ و $1$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2 + 1$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $3$ في $2$ .

$u_{upper} = 6 + 1$

خطوة 2.5.2

أضف $6$ و $1$ .

$u_{upper} = 7$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 7$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$18 \int_{1}^{7} u^{5} \frac{1}{3} d u$

خطوة 3

اجمع $u^{5}$ و $\frac{1}{3}$ .

$18 \int_{1}^{7} \frac{u^{5}}{3} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$18 (\frac{1}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $18$ .

$\frac{18}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $18$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

خطوة 5.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (1)} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 6}{3 \cdot 1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

خطوة 5.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6}{1} \int_{1}^{7} u^{5} d u$

خطوة 5.2.2.4

اقسِم $6$ على $1$ .

$6 \int_{1}^{7} u^{5} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$6 (\frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{7})$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{6}$ و $u^{6}$ .

$6 (\frac{u^{6}}{6}]_{1}^{7})$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\frac{u^{6}}{6}$ في $7$ وفي $1$ .

$6 ((\frac{7^{6}}{6}) - \frac{1^{6}}{6})$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

ارفع $7$ إلى القوة $6$ .

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1^{6}}{6})$

خطوة 8.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$6 (\frac{117649}{6} - \frac{1}{6})$

خطوة 8.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$6 \frac{117649 - 1}{6}$

خطوة 8.2.4

اطرح $1$ من $117649$ .

$6 (\frac{117648}{6})$

خطوة 8.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $117648$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

أخرِج العامل $6$ من $117648$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6}$

خطوة 8.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 (1)}$

خطوة 8.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$6 \frac{6 \cdot 19608}{6 \cdot 1}$

خطوة 8.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$6 (\frac{19608}{1})$

خطوة 8.2.5.2.4

اقسِم $19608$ على $1$ .

$6 \cdot 19608$

خطوة 8.2.6

اضرب $6$ في $19608$ .

$117648$

خطوة 9