حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 1}^{0} y {(2 y^{2} - 3)}^{5} d y$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 y^{2} - 3$ . إذن $d u = 4 y d y$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = y d y$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 y^{2} - 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 y^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2} - 3]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 y^{2} - 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $2 y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 y + \frac{d}{d y} [- 3]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$4 y + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $4 y$ و $0$ .

$4 y$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $y$ في $u = 2 y^{2} - 3$ .

$u_{lower} = 2 {(- 1)}^{2} - 3$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 1 - 3$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{lower} = 2 - 3$

خطوة 1.3.2

اطرح $3$ من $2$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $y$ في $u = 2 y^{2} - 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 0^{2} - 3$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{upper} = 2 \cdot 0 - 3$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{upper} = 0 - 3$

خطوة 1.5.2

اطرح $3$ من $0$ .

$u_{upper} = - 3$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - 3$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 1}^{- 3} u^{5} \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{5}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\int_{- 1}^{- 3} \frac{u^{5}}{4} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{- 1}^{- 3} u^{5} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{- 1}^{- 3}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{6} u^{6}$ في $- 3$ وفي $- 1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {(- 3)}^{6}) - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 729 - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{6}$ و $729$ .

$\frac{1}{4} (\frac{729}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

خطوة 5.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $729$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $3$ من $729$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 (243)}{6} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} {(- 1)}^{6})$

خطوة 5.2.4

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6} \cdot 1)$

خطوة 5.2.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.2.6

لكتابة $\frac{243}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.2.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

اضرب $\frac{243}{2}$ في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.2.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{243 \cdot 3}{6} - \frac{1}{6})$

خطوة 5.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{243 \cdot 3 - 1}{6}$

خطوة 5.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

اضرب $243$ في $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{729 - 1}{6}$

خطوة 5.2.9.2

اطرح $1$ من $729$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{728}{6}$

خطوة 5.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $728$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

أخرِج العامل $2$ من $728$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (364)}{6}$

خطوة 5.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 364}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{364}{3}$

خطوة 5.2.11

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{364}{3}$ .

$\frac{364}{4 \cdot 3}$

خطوة 5.2.12

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{364}{12}$

خطوة 5.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $364$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.1

أخرِج العامل $4$ من $364$ .

$\frac{4 (91)}{12}$

خطوة 5.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

خطوة 5.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 91}{4 \cdot 3}$

خطوة 5.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{91}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{91}{3}$

الصيغة العشرية:

$30.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$30 \frac{1}{3}$

خطوة 7