حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) - (12 x^{2} - 3) d x$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- 0.5}^{0.5} 4 \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

خطوة 2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{- 0.5}^{0.5} \cos (π x) d x + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = π x$ . إذن $d u = π d x$ ، لذا $\frac{1}{π} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = π x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

خطوة 3.1.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$π \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $π$ في $1$ .

$π$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = π x$ .

$u_{lower} = π \cdot - 0.5$

خطوة 3.3

اضرب $π$ في $- 0.5$ .

$u_{lower} = - 1.57079632$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = π x$ .

$u_{upper} = π \cdot 0.5$

خطوة 3.5

اضرب $π$ في $0.5$ .

$u_{upper} = 1.57079632$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1.57079632$

$u_{upper} = 1.57079632$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) \frac{1}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

خطوة 4

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{π}$ .

$4 \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \frac{\cos (u)}{π} d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{π}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{π}$ خارج التكامل.

$4 (\frac{1}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u) + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

خطوة 6

اجمع $\frac{1}{π}$ و $4$ .

$\frac{4}{π} \int_{- 1.57079632}^{1.57079632} \cos (u) d u + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

خطوة 7

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2} - 3) d x$

خطوة 8

اضرب $- (12 x^{2} - 3)$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - (12 x^{2}) - - 3 d x$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اضرب $12$ في $- 1$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} - - 3 d x$

خطوة 9.2

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} + 3 d x$

خطوة 10

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} + \int_{- 0.5}^{0.5} - 12 x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

خطوة 11

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 12$ خارج التكامل.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 \int_{- 0.5}^{0.5} x^{2} d x + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

خطوة 13

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + \int_{- 0.5}^{0.5} 3 d x$

خطوة 14

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{4}{π} \sin (u)]_{- 1.57079632}^{1.57079632} - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

خطوة 15

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $1.57079632$ وفي $- 1.57079632$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 0.5}^{0.5}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

خطوة 15.2

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $0.5$ وفي $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 ((\frac{{0.5}^{3}}{3}) - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 x]_{- 0.5}^{0.5}$

خطوة 15.3

احسِب قيمة $3 x$ في $0.5$ وفي $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} ((\sin (1.57079632)) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{{0.5}^{3}}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.1

ارفع $0.5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{{(- 0.5)}^{3}}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.2

ارفع $- 0.5$ إلى القوة $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - \frac{- 0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} - - \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.4

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + 1 (\frac{0.125}{3})) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.5

اضرب $\frac{0.125}{3}$ في $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.125}{3} + \frac{0.125}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 \frac{0.125 + 0.125}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.7

أضف $0.125$ و $0.125$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 12 (\frac{0.25}{3}) + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.8

اجمع $- 12$ و $\frac{0.25}{3}$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 12 \cdot 0.25}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.9

اضرب $- 12$ في $0.25$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 3}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.10

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.10.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.4.10.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + \frac{- 1}{1} + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.10.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3 \cdot 0.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.11

اضرب $3$ في $0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 - 3 \cdot - 0.5$

خطوة 15.4.12

اضرب $- 3$ في $- 0.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 1.5 + 1.5$

خطوة 15.4.13

أضف $1.5$ و $1.5$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) - 1 + 3$

خطوة 15.4.14

أضف $- 1$ و $3$ .

$\frac{4}{π} (\sin (1.57079632) - \sin (- 1.57079632)) + 2$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4}{π} \sin (1.57079632) + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

خطوة 16.1.2

اجمع $\frac{4}{π}$ و $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} + \frac{4}{π} (- \sin (- 1.57079632)) + 2$

خطوة 16.1.3

اجمع $\frac{4}{π}$ و $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4 \sin (1.57079632)}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

خطوة 16.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.4.1

احسِب قيمة $\sin (1.57079632)$ .

$\frac{4 \cdot 1}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

خطوة 16.1.4.2

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \sin (- 1.57079632)}{π} + 2$

خطوة 16.1.4.3

احسِب قيمة $\sin (- 1.57079632)$ .

$\frac{4}{π} - \frac{4 \cdot - 1}{π} + 2$

خطوة 16.1.4.4

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{4}{π} - \frac{- 4}{π} + 2$

خطوة 16.1.4.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{4}{π} - - \frac{4}{π} + 2$

خطوة 16.1.4.6

اضرب $- - \frac{4}{π}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.4.6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{4}{π} + 1 \frac{4}{π} + 2$

خطوة 16.1.4.6.2

اضرب $\frac{4}{π}$ في $1$ .

$\frac{4}{π} + \frac{4}{π} + 2$

خطوة 16.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 + 4}{π} + 2$

خطوة 16.1.6

أضف $4$ و $4$ .

$\frac{8}{π} + 2$

خطوة 16.2

أضف $\frac{8}{π}$ و $2$ .

$4.54647908$