حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0.5}^{1} x^{2} \cot (x^{3}) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{3}$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{3}$ .

$u_{lower} = {0.5}^{3}$

خطوة 1.3

ارفع $0.5$ إلى القوة $3$ .

$u_{lower} = 0.125$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{3}$ .

$u_{upper} = 1^{3}$

خطوة 1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0.125$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0.125}^{1} \cot (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع $\cot (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0.125}^{1} \frac{\cot (u)}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{0.125}^{1} \cot (u) d u$

خطوة 4

تكامل $\cot (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| \sin (u) |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| \sin (u) |)]_{0.125}^{1}$

خطوة 5

احسِب قيمة $\ln (| \sin (u) |)$ في $1$ وفي $0.125$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.125) |))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.125) |})}{3}$

الصيغة العشرية:

$- 0.65541022 \dots$