حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} - \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{u^{5}}{4} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 2

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{5} d u + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} + \int_{1}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} \frac{1}{u^{3}} d u$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} {(u^{3})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{3 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - \int_{1}^{\sqrt{2}} u^{- 3} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اجمع $u^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{1}^{\sqrt{2}})$

خطوة 7.1.2

انقُل $u^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{6} u^{6}]_{1}^{\sqrt{2}} - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

خطوة 7.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احسِب قيمة $\frac{1}{6} u^{6}$ في $\sqrt{2}$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{1}^{\sqrt{2}})$

خطوة 7.2.2

احسِب قيمة $- \frac{1}{2 u^{2}}$ في $\sqrt{2}$ وفي $1$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{6} {\sqrt{2}}^{6}) - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{6}$ بالصيغة $2^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} {(2^{\frac{1}{2}})}^{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.1.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{6}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.1.4

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.1.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.1.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.1.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.1.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{\frac{3}{1}} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.1.4.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 2^{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.2

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{6} \cdot 8 - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.3

اجمع $\frac{1}{6}$ و $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{8}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.4.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 (4)}{6} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1^{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6} \cdot 1) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.7

لكتابة $\frac{4}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.8

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.8.1

اضرب $\frac{4}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.8.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 2}{6} - \frac{1}{6}) - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.10.1

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{8 - 1}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.10.2

اطرح $1$ من $8$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{7}{6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.11

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{7}{6}$ .

$\frac{7}{4 \cdot 6} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.12

اضرب $4$ في $6$ .

$\frac{7}{24} - ((- \frac{1}{2 {\sqrt{2}}^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.13

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.13.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.13.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.13.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.13.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.13.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.13.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2^{1}} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.13.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.14

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}})$

خطوة 7.2.3.15

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2 \cdot 1})$

خطوة 7.2.3.16

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2})$

خطوة 7.2.3.17

لكتابة $\frac{1}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 7.2.3.18

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $4$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.18.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{2 \cdot 2})$

خطوة 7.2.3.18.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{7}{24} - (- \frac{1}{4} + \frac{2}{4})$

خطوة 7.2.3.19

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7}{24} - \frac{- 1 + 2}{4}$

خطوة 7.2.3.20

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4}$

خطوة 7.2.3.21

لكتابة $- \frac{1}{4}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{24} - \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 7.2.3.22

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $24$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.3.22.1

اضرب $\frac{1}{4}$ في $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{24} - \frac{6}{4 \cdot 6}$

خطوة 7.2.3.22.2

اضرب $4$ في $6$ .

$\frac{7}{24} - \frac{6}{24}$

خطوة 7.2.3.23

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7 - 6}{24}$

خطوة 7.2.3.24

اطرح $6$ من $7$ .

$\frac{1}{24}$

خطوة 8

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{24}$

الصيغة العشرية:

$0.041\overline{6}$

خطوة 9