حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln ({(x)}^{3})}{x} d x$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{\ln (x^{3})}{x}$ بالصيغة $\frac{3 \ln (x)}{x}$ .

$\int_{1}^{e^{4}} \frac{3 \ln (x)}{x} d x$

خطوة 2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{1}^{e^{4}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

خطوة 3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $4$ خارج الأُس.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

خطوة 3.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

خطوة 3.5.3

اضرب $4$ في $1$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$3 \int_{0}^{4} u d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{4})$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$3 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{4})$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $4$ وفي $0$ .

$3 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$3 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 6.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 6.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 6.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 6.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 6.2.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$3 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 6.2.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$3 (8 - \frac{0}{2})$

خطوة 6.2.4

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$3 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 6.2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.4.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 6.2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 6.2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 (8 - \frac{0}{1})$

خطوة 6.2.4.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$3 (8 - 0)$

خطوة 6.2.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$3 (8 + 0)$

خطوة 6.2.6

أضف $8$ و $0$ .

$3 \cdot 8$

خطوة 6.2.7

اضرب $3$ في $8$ .

$24$