حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e^{2}} \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 1.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

خطوة 1.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e^{2})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $2$ خارج الأُس.

$u_{upper} = 2 \ln (e)$

خطوة 1.5.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1$

خطوة 1.5.3

اضرب $2$ في $1$ .

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{2} u d u$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{2}$

خطوة 3

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة $\frac{1}{2} u^{2}$ في $2$ وفي $0$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $4$ .

$\frac{4}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{1} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2.3.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2}$

خطوة 3.2.4

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$2 - \frac{1}{2} \cdot 0$

خطوة 3.2.5

اضرب $0$ في $- 1$ .

$2 + 0 (\frac{1}{2})$

خطوة 3.2.6

اضرب $0$ في $\frac{1}{2}$ .

$2 + 0$

خطوة 3.2.7

أضف $2$ و $0$ .

$2$