حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} 2 \cos (2 x) d x$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{0}^{π} \cos (2 x) d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 2.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 2.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 2.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{0}^{2 π} \cos (u) \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 \int_{0}^{2 π} \frac{\cos (u)}{2} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2} \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

خطوة 5.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

خطوة 5.3

اضرب $\int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$ في $1$ .

$\int_{0}^{2 π} \cos (u) d u$

خطوة 6

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$\sin (u)]_{0}^{2 π}$

خطوة 7

احسِب قيمة $\sin (u)$ في $2 π$ وفي $0$ .

$\sin (2 π) - \sin (0)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\sin (2 π) - 0$

خطوة 8.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\sin (2 π) + 0$

خطوة 8.3

أضف $\sin (2 π)$ و $0$ .

$\sin (2 π)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\sin (0)$

خطوة 9.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$0$