حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} \sin^{2} (2 x) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 2 x$ . إذن $d u_{1} = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 2 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = 2 x$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = 2 x$ .

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 1.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

خطوة 1.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}$

خطوة 2

اجمع $\sin^{2} (u_{1})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} (u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

خطوة 4

استخدِم قاعدة نصف الزاوية لإعادة كتابة $\sin^{2} (u_{1})$ بحيث تصبح $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

خطوة 5

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{1}{4} \int_{0}^{2 π} 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{4} (\int_{0}^{2 π} d u_{1} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 8

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} + \int_{0}^{2 π} - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{2 π} \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . إذن $d u_{2} = 2 d u_{1}$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{2} = 2 u_{1}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

خطوة 10.1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، إذن مشتق $2 u_{1}$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 10.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

خطوة 10.3

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 10.4

عوّض بالنهاية العليا عن $u_{1}$ في $u_{2} = 2 u_{1}$ .

$u_{upper} = 2 (2 π)$

خطوة 10.5

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{upper} = 4 π$

خطوة 10.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4 π$

خطوة 10.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

خطوة 11

اجمع $\cos (u_{2})$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \int_{0}^{4 π} \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{4 π} \cos (u_{2}) d u_{2}))$

خطوة 13

تكامل $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (u_{1}]_{0}^{2 π} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

خطوة 14

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

احسِب قيمة $u_{1}$ في $2 π$ وفي $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} \sin (u_{2})]_{0}^{4 π})$

خطوة 14.2

احسِب قيمة $\sin (u_{2})$ في $4 π$ وفي $0$ .

$\frac{1}{4} ((2 π) + 0 - \frac{1}{2} ((\sin (4 π)) - \sin (0)))$

خطوة 14.3

أضف $2 π$ و $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - \sin (0)))$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) - 0))$

خطوة 15.2

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} (\sin (4 π) + 0))$

خطوة 15.3

أضف $\sin (4 π)$ و $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{1}{2} \sin (4 π))$

خطوة 15.4

اجمع $\sin (4 π)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (4 π)}{2})$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{\sin (0)}{2})$

خطوة 16.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π - \frac{0}{2})$

خطوة 16.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$\frac{1}{4} (2 π - 0)$

خطوة 16.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π + 0)$

خطوة 16.4

أضف $2 π$ و $0$ .

$\frac{1}{4} (2 π)$

خطوة 16.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 π)$

خطوة 16.5.2

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (π))$

خطوة 16.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 π)$

خطوة 16.5.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} π$

خطوة 16.6

اجمع $\frac{1}{2}$ و $π$ .

$\frac{π}{2}$

خطوة 17

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{π}{2}$

الصيغة العشرية:

$1.57079632 \dots$