حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (x^{4} + 27)$

خطوة 1

اكتب $\ln (x^{4} + 27)$ في صورة دالة.

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{4} + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

خطوة 2.1.1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

خطوة 2.1.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4} + 27$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

خطوة 2.1.2.3

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

خطوة 2.1.2.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.4.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

خطوة 2.1.2.4.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{x^{4} + 27}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

خطوة 2.1.2.4.3

اجمع $\frac{4}{x^{4} + 27}$ و $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x^{4} + 27$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 \frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $x^{4} + 27$ .

$4 \frac{3 \cdot (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.5

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.6.1

أضف $4 x^{3}$ و $0$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.3.6.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.4

اضرب $x^{3}$ في $x^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

انقُل $x^{3}$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.4.3

أضف $3$ و $3$ .

$4 \frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.5

اجمع $4$ و $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot 27 x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.4.1.1

اضرب $x^{4}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.6.4.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.1.3

أضف $2$ و $4$ .

$\frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot 27 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.3

اضرب $3$ في $27$ .

$\frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.4

اضرب $81$ في $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.1.5

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2.6.4.2

اطرح $16 x^{6}$ من $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}} = 0$

خطوة 3.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$- 4 x^{6} + 324 x^{2} = 0$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $- 4 x^{2}$ من $- 4 x^{6} + 324 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أخرِج العامل $- 4 x^{2}$ من $- 4 x^{6}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} + 324 x^{2} = 0$

خطوة 3.3.1.1.2

أخرِج العامل $- 4 x^{2}$ من $324 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} x^{4} - 4 x^{2} \cdot - 81 = 0$

خطوة 3.3.1.1.3

أخرِج العامل $- 4 x^{2}$ من $- 4 x^{2} (x^{4}) - 4 x^{2} (- 81)$ .

$- 4 x^{2} (x^{4} - 81) = 0$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

خطوة 3.3.1.3

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$- 4 x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

خطوة 3.3.1.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x^{2}$ و $b = 9$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

خطوة 3.3.1.5

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1.1

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

خطوة 3.3.1.5.1.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1.2.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 3$ .

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

خطوة 3.3.1.5.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 4 x^{2} ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

خطوة 3.3.1.5.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

خطوة 3.3.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

خطوة 3.3.3

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 3.3.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 3.3.3.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 3.3.3.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 3.3.3.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 3.3.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

عيّن قيمة $x^{2} + 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

خطوة 3.3.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 9 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1

اطرح $9$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 9$

خطوة 3.3.4.2.2

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

خطوة 3.3.4.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 9}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.3.1

أعِد كتابة $- 9$ بالصيغة $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

خطوة 3.3.4.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (9)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

خطوة 3.3.4.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

خطوة 3.3.4.2.3.4

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

خطوة 3.3.4.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 3$

خطوة 3.3.4.2.3.6

انقُل $3$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 3 i$

خطوة 3.3.4.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 3 i$

خطوة 3.3.4.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 3 i$

خطوة 3.3.4.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 3 i, - 3 i$

خطوة 3.3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 3.3.5.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 3.3.6

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 3.3.6.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 3.3.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- 4 x^{2} (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $0$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 27)$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$f (0) = \ln (0 + 27)$

خطوة 4.1.2.2

أضف $0$ و $27$ .

$f (0) = \ln (27)$

خطوة 4.1.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (27)$ .

$\ln (27)$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ هي $(0, \ln (27))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0, \ln (27))$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 3$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{4} + 27)$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$f (- 3) = \ln (81 + 27)$

خطوة 4.3.2.2

أضف $81$ و $27$ .

$f (- 3) = \ln (108)$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 3$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ هي $(- 3, \ln (108))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 3, \ln (108))$

خطوة 4.5

عوّض بقيمة $3$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = \ln ({(3)}^{4} + 27)$

خطوة 4.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f (3) = \ln (81 + 27)$

خطوة 4.5.2.2

أضف $81$ و $27$ .

$f (3) = \ln (108)$

خطوة 4.5.2.3

الإجابة النهائية هي $\ln (108)$ .

$\ln (108)$

خطوة 4.6

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $3$ في $f (x) = \ln (x^{4} + 27)$ هي $(3, \ln (108))$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(3, \ln (108))$

خطوة 4.7

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(0, \ln (27)), (- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3.1$ في العبارة.

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 {(- 3.1)}^{6} + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 3.1$ إلى القوة $6$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $- 4$ في $887.503681$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 {(- 3.1)}^{2}}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.3

ارفع $- 3.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.4

اضرب $324$ في $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.1.5

أضف $- 3550.014724$ و $3113.64$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{({(- 3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

ارفع $- 3.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

خطوة 6.2.2.2

أضف $92.3521$ و $27$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

خطوة 6.2.2.3

ارفع $119.3521$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

خطوة 6.2.3

اقسِم $- 436.374724$ على $14244.92377441$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.0306337$

خطوة 6.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $- 3.1$ يساوي $- 0.0306337$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- \infty, - 3)$

تناقص خلال $(- \infty, - 3)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 3, 0)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{3}{2}$ في العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(- \frac{3}{2})}^{6} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} {(\frac{3}{2})}^{6}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 ({(- 1)}^{6} (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (1 (\frac{3^{6}}{2^{6}})) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $\frac{3^{6}}{2^{6}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.4

ارفع $3$ إلى القوة $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.6.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.6.2

أخرِج العامل $4$ من $64$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.6.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.6.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.7

أعِد كتابة $- 1 (\frac{729}{16})$ بالصيغة $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(- \frac{3}{2})}^{2}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.8

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.8.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.8.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.9

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.10

اضرب $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.11

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.12

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.13

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.13.1

أخرِج العامل $4$ من $324$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.14

اضرب $81$ في $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.15

لكتابة $729$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.16

اجمع $729$ و $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.17

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.18

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.18.1

اضرب $729$ في $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.1.18.2

أضف $- 729$ و $11664$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- \frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

استخدِم قاعدة القوة ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ لتوزيع الأُس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.1.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(1 (\frac{3^{4}}{2^{4}}) + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.3

اضرب $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ في $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.4

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.5

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

خطوة 7.2.2.6

لكتابة $27$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.7

اجمع $27$ و $\frac{16}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.9.1

اضرب $27$ في $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.9.2

أضف $81$ و $432$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

خطوة 7.2.2.10

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{513}{16}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

خطوة 7.2.2.11

ارفع $513$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

خطوة 7.2.2.12

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

خطوة 7.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

خطوة 7.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $729$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.4.1

أخرِج العامل $729$ من $10935$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

خطوة 7.2.4.2

أخرِج العامل $729$ من $263169$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

خطوة 7.2.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

خطوة 7.2.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

خطوة 7.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.5.1

أخرِج العامل $16$ من $256$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

خطوة 7.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

خطوة 7.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

خطوة 7.2.6

اجمع $15$ و $\frac{16}{361}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

خطوة 7.2.7

اضرب $15$ في $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

خطوة 7.2.8

الإجابة النهائية هي $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

خطوة 7.3

في $- \frac{3}{2}$ ، المشتق الثاني هو $0.66481994$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- 3, 0)$ .

تزايد خلال $(- 3, 0)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(0, 3)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3}{2}$ في العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 {(\frac{3}{2})}^{6} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{3^{6}}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 \frac{729}{2^{6}} + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $6$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 4 (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (- 1) (\frac{729}{64}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4.2

أخرِج العامل $4$ من $64$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{4 \cdot (- 1 \frac{729}{4 \cdot 16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.5

أعِد كتابة $- 1 (\frac{729}{16})$ بالصيغة $- (\frac{729}{16})$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- (\frac{729}{16}) + 324 {(\frac{3}{2})}^{2}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.6

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.7

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{2^{2}})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.8

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 324 (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.9

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.9.1

أخرِج العامل $4$ من $324$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 (81) (\frac{9}{4})}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.9.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 4 \cdot (81 (\frac{9}{4}))}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.9.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 81 \cdot 9}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.10

اضرب $81$ في $9$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.11

لكتابة $729$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + 729 \cdot \frac{16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.12

اجمع $729$ و $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{729}{16} + \frac{729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 729 \cdot 16}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.14.1

اضرب $729$ في $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{- 729 + 11664}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.1.14.2

أضف $- 729$ و $11664$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{({(\frac{3}{2})}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{3}{2}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{3^{4}}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.2

ارفع $3$ إلى القوة $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{2^{4}} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.3

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27)}^{2}}$

خطوة 8.2.2.4

لكتابة $27$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + 27 \cdot \frac{16}{16})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.5

اجمع $27$ و $\frac{16}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81}{16} + \frac{27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 27 \cdot 16}{16})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.7.1

اضرب $27$ في $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{81 + 432}{16})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.7.2

أضف $81$ و $432$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{{(\frac{513}{16})}^{2}}$

خطوة 8.2.2.8

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{513}{16}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{513^{2}}{16^{2}}}$

خطوة 8.2.2.9

ارفع $513$ إلى القوة $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{16^{2}}}$

خطوة 8.2.2.10

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{10935}{16}}{\frac{263169}{256}}$

خطوة 8.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{10935}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

خطوة 8.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $729$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.4.1

أخرِج العامل $729$ من $10935$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 (15)}{16} \cdot \frac{256}{263169}$

خطوة 8.2.4.2

أخرِج العامل $729$ من $263169$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

خطوة 8.2.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{729 \cdot 15}{16} \cdot \frac{256}{729 \cdot 361}$

خطوة 8.2.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{256}{361}$

خطوة 8.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.5.1

أخرِج العامل $16$ من $256$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 (16)}{361}$

خطوة 8.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15}{16} \cdot \frac{16 \cdot 16}{361}$

خطوة 8.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f'' (\frac{3}{2}) = 15 (\frac{16}{361})$

خطوة 8.2.6

اجمع $15$ و $\frac{16}{361}$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{15 \cdot 16}{361}$

خطوة 8.2.7

اضرب $15$ في $16$ .

$f'' (\frac{3}{2}) = \frac{240}{361}$

خطوة 8.2.8

الإجابة النهائية هي $\frac{240}{361}$ .

$\frac{240}{361}$

خطوة 8.3

في $\frac{3}{2}$ ، المشتق الثاني هو $0.66481994$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(0, 3)$ .

تزايد خلال $(0, 3)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

عوّض بقيمة من الفترة $(3, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3.1$ في العبارة.

$f'' (3.1) = \frac{- 4 {(3.1)}^{6} + 324 {(3.1)}^{2}}{{({(3.1)}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

ارفع $3.1$ إلى القوة $6$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 4 \cdot 887.503681 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.2

اضرب $- 4$ في $887.503681$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot {3.1}^{2}}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.3

ارفع $3.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 324 \cdot 9.61}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.4

اضرب $324$ في $9.61$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 3550.014724 + 3113.64}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.2.1.5

أضف $- 3550.014724$ و $3113.64$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{({3.1}^{4} + 27)}^{2}}$

خطوة 9.2.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

ارفع $3.1$ إلى القوة $4$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{(92.3521 + 27)}^{2}}$

خطوة 9.2.2.2

أضف $92.3521$ و $27$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{{119.3521}^{2}}$

خطوة 9.2.2.3

ارفع $119.3521$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3.1) = \frac{- 436.374724}{14244.92377441}$

خطوة 9.2.3

اقسِم $- 436.374724$ على $14244.92377441$ .

$f'' (3.1) = - 0.0306337$

خطوة 9.2.4

الإجابة النهائية هي $- 0.0306337$ .

$- 0.0306337$

خطوة 9.3

المشتق الثاني عند $3.1$ يساوي $- 0.0306337$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(3, \infty)$

تناقص خلال $(3, \infty)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 10

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$ .

$(- 3, \ln (108)), (3, \ln (108))$

خطوة 11