حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} 5 {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$5 \int_{0}^{π} {(5 - 4 \cos (t))}^{\frac{1}{4}} \sin (t) d t$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 5 - 4 \cos (t)$ . إذن $d u = 4 \sin (t) d t$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = \sin (t) d t$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 5 - 4 \cos (t)$ . أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $5 - 4 \cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [5 - 4 \cos (t)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 - 4 \cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

خطوة 2.1.2.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 4 \cos (t)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 4 \cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

خطوة 2.1.3.2

مشتق $\cos (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \sin (t)$ .

$0 - 4 (- \sin (t))$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$0 + 4 \sin (t)$

خطوة 2.1.4

أضف $0$ و $4 \sin (t)$ .

$4 \sin (t)$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $t$ في $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cos (0)$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4 \cdot 1$

خطوة 2.3.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$u_{lower} = 5 - 4$

خطوة 2.3.2

اطرح $4$ من $5$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $t$ في $u = 5 - 4 \cos (t)$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cos (π)$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$u_{upper} = 5 - 4 (- \cos (0))$

خطوة 2.5.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = 5 - 4 \cdot - 1$

خطوة 2.5.1.3.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$u_{upper} = 5 + 4$

خطوة 2.5.2

أضف $5$ و $4$ .

$u_{upper} = 9$

خطوة 2.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

خطوة 2.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$5 \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} d u$

خطوة 3

اجمع $u^{\frac{1}{4}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$5 \int_{1}^{9} \frac{u^{\frac{1}{4}}}{4} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$5 (\frac{1}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u)$

خطوة 5

اجمع $\frac{1}{4}$ و $5$ .

$\frac{5}{4} \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{4}} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{4}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} \frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}]_{1}^{9}$

خطوة 7

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة $\frac{4}{5} u^{\frac{5}{4}}$ في $9$ وفي $1$ .

$\frac{5}{4} ((\frac{4}{5} \cdot 9^{\frac{5}{4}}) - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

خطوة 7.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{4}{5}$ و $9^{\frac{5}{4}}$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1^{\frac{5}{4}})$

خطوة 7.2.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5} \cdot 1)$

خطوة 7.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{5}{4} (\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{4}{5})$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

خطوة 8.2

اجمع.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} (- \frac{4}{5})$

خطوة 8.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{4}{5}$ إلى بسط الكسر.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

خطوة 8.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{5}{4} \cdot \frac{- 4}{5}$

خطوة 8.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot - 4$

خطوة 8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))$

خطوة 8.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)$

خطوة 8.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

خطوة 8.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 (4 \cdot 9^{\frac{5}{4}})}{4 \cdot 5} - 1$

خطوة 8.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

خطوة 8.5.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 9^{\frac{5}{4}}}{4} - 1$

خطوة 8.5.4

اقسِم $9^{\frac{5}{4}}$ على $1$ .

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

خطوة 9

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$9^{\frac{5}{4}} - 1$

الصيغة العشرية:

$14.58845726 \dots$