حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{2} \frac{6 x - 1}{3 x^{2} - x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 x^{2} - x$ . إذن $d u = (6 x - 1) d x$ ، لذا $\frac{1}{6 x - 1} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 x^{2} - x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x^{2} - x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - x]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x - 1 \cdot 1$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$6 x - 1$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 1^{2} - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{lower} = 3 - 1$

خطوة 1.3.2

اطرح $1$ من $3$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 3 x^{2} - x$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 2$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 4 - 1 \cdot 2$

خطوة 1.5.1.2

اضرب $3$ في $4$ .

$u_{upper} = 12 - 1 \cdot 2$

خطوة 1.5.1.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$u_{upper} = 12 - 2$

خطوة 1.5.2

اطرح $2$ من $12$ .

$u_{upper} = 10$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 10$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{10} \frac{1}{u} d u$

خطوة 2

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{2}^{10}$

خطوة 3

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $10$ وفي $2$ .

$\ln (| 10 |) - \ln (| 2 |)$

خطوة 4

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 10 |}{| 2 |})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $10$ تساوي $10$ .

$\ln (\frac{10}{| 2 |})$

خطوة 5.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\ln (\frac{10}{2})$

خطوة 5.3

اقسِم $10$ على $2$ .

$\ln (5)$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\ln (5)$

الصيغة العشرية:

$1.60943791 \dots$

خطوة 7