حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{3} x^{2} {(x^{3} - 10)}^{3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{3} - 10$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{3} - 10$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} - 10$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 10]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{3} - 10$ .

$u_{lower} = 1^{3} - 10$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$u_{lower} = 1 - 10$

خطوة 1.3.2

اطرح $10$ من $1$ .

$u_{lower} = - 9$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{3} - 10$ .

$u_{upper} = 3^{3} - 10$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$u_{upper} = 27 - 10$

خطوة 1.5.2

اطرح $10$ من $27$ .

$u_{upper} = 17$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 9$

$u_{upper} = 17$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 9}^{17} u^{3} \frac{1}{3} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{3}$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int_{- 9}^{17} \frac{u^{3}}{3} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int_{- 9}^{17} u^{3} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{3} \frac{1}{4} u^{4}]_{- 9}^{17}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{4} u^{4}$ في $17$ وفي $- 9$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{1}{4} \cdot 17^{4}) - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $17$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} \cdot 83521 - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و $83521$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} {(- 9)}^{4})$

خطوة 5.2.3

ارفع $- 9$ إلى القوة $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{1}{4} \cdot 6561)$

خطوة 5.2.4

اضرب $6561$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - 6561 (\frac{1}{4}))$

خطوة 5.2.5

اجمع $- 6561$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} + \frac{- 6561}{4})$

خطوة 5.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} (\frac{83521}{4} - \frac{6561}{4})$

خطوة 5.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{83521 - 6561}{4}$

خطوة 5.2.8

اطرح $6561$ من $83521$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{76960}{4}$

خطوة 5.2.9

احذِف العامل المشترك لـ $76960$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.1

أخرِج العامل $4$ من $76960$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4}$

خطوة 5.2.9.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.9.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 (1)}$

خطوة 5.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 19240}{4 \cdot 1}$

خطوة 5.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{19240}{1}$

خطوة 5.2.9.2.4

اقسِم $19240$ على $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 19240$

خطوة 5.2.10

اجمع $\frac{1}{3}$ و $19240$ .

$\frac{19240}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{19240}{3}$

الصيغة العشرية:

$6413.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$6413 \frac{1}{3}$

خطوة 7