حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{4} \frac{12 \ln^{5} (x)}{x} d x$

خطوة 1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $12$ خارج التكامل.

$12 \int_{1}^{4} \frac{\ln^{5} (x)}{x} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

خطوة 2.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (4)$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \ln (4)$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$12 \int_{0}^{\ln (4)} u^{5} d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{5}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$12 (\frac{1}{6} u^{6}]_{0}^{\ln (4)})$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{6}$ و $u^{6}$ .

$12 (\frac{u^{6}}{6}]_{0}^{\ln (4)})$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{u^{6}}{6}$ في $\ln (4)$ وفي $0$ .

$12 ((\frac{\ln^{6} (4)}{6}) - \frac{0^{6}}{6})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{0}{6})$

خطوة 5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $0$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 (0)}{6})$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

خطوة 5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{6 \cdot 0}{6 \cdot 1})$

خطوة 5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - \frac{0}{1})$

خطوة 5.2.2.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} - 0)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $0$ .

$12 (\frac{\ln^{6} (4)}{6} + 0)$

خطوة 5.2.4

أضف $\frac{\ln^{6} (4)}{6}$ و $0$ .

$12 \frac{\ln^{6} (4)}{6}$

خطوة 5.2.5

اجمع $12$ و $\frac{\ln^{6} (4)}{6}$ .

$\frac{12 \ln^{6} (4)}{6}$

خطوة 5.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

أخرِج العامل $6$ من $12 \ln^{6} (4)$ .

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6}$

خطوة 5.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

أخرِج العامل $6$ من $6$ .

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6 (1)}$

خطوة 5.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 (2 \ln^{6} (4))}{6 \cdot 1}$

خطوة 5.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 \ln^{6} (4)}{1}$

خطوة 5.2.6.2.4

اقسِم $2 \ln^{6} (4)$ على $1$ .

$2 \ln^{6} (4)$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$2 \ln^{6} (4)$

الصيغة العشرية:

$14.19589361 \dots$