حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{3} 8 x (x^{2} - 5) d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x^{2} - 5$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2 x} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x^{2} - 5$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 5]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

خطوة 1.1.4

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 x + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$2 x$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x^{2} - 5$ .

$u_{lower} = 2^{2} - 5$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$u_{lower} = 4 - 5$

خطوة 1.3.2

اطرح $5$ من $4$ .

$u_{lower} = - 1$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x^{2} - 5$ .

$u_{upper} = 3^{2} - 5$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$u_{upper} = 9 - 5$

خطوة 1.5.2

اطرح $5$ من $9$ .

$u_{upper} = 4$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 4$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{- 1}^{4} 4 u d u$

خطوة 2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{- 1}^{4} u d u$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{4})$

خطوة 4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$4 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{4})$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $4$ وفي $- 1$ .

$4 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$4 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.2.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$4 (8 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

خطوة 5.2.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$4 (8 - \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.4

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.5

اجمع $8$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

خطوة 5.2.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2}$

خطوة 5.2.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.7.1

اضرب $8$ في $2$ .

$4 \frac{16 - 1}{2}$

خطوة 5.2.7.2

اطرح $1$ من $16$ .

$4 (\frac{15}{2})$

خطوة 5.2.8

اجمع $4$ و $\frac{15}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 15}{2}$

خطوة 5.2.9

اضرب $4$ في $15$ .

$\frac{60}{2}$

خطوة 5.2.10

احذِف العامل المشترك لـ $60$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

أخرِج العامل $2$ من $60$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2}$

خطوة 5.2.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)}$

خطوة 5.2.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1}$

خطوة 5.2.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{30}{1}$

خطوة 5.2.10.2.4

اقسِم $30$ على $1$ .

$30$

خطوة 6