حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} + \frac{2}{a} d a$

خطوة 1

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{2}^{3} 0.1 e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 2

بما أن $0.1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، انقُل $0.1$ خارج التكامل.

$0.1 \int_{2}^{3} e^{- 0.1 a} d a + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 3

لنفترض أن $u = - 0.1 a$ . إذن $d u = - 0.1 d a$ ، لذا $\frac{1}{- 0.1} d u = d a$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = - 0.1 a$ . أوجِد $\frac{d u}{d a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $- 0.1 a$ .

$\frac{d}{d a} [- 0.1 a]$

خطوة 3.1.2

بما أن $- 0.1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، إذن مشتق $- 0.1 a$ بالنسبة إلى $a$ يساوي $- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$ .

$- 0.1 \frac{d}{d a} [a]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ هو $n a^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 0.1 \cdot 1$

خطوة 3.1.4

اضرب $- 0.1$ في $1$ .

$- 0.1$

خطوة 3.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $a$ في $u = - 0.1 a$ .

$u_{lower} = - 0.1 \cdot 2$

خطوة 3.3

اضرب $- 0.1$ في $2$ .

$u_{lower} = - 0.2$

خطوة 3.4

عوّض بالنهاية العليا عن $a$ في $u = - 0.1 a$ .

$u_{upper} = - 0.1 \cdot 3$

خطوة 3.5

اضرب $- 0.1$ في $3$ .

$u_{upper} = - 0.3$

خطوة 3.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - 0.2$

$u_{upper} = - 0.3$

خطوة 3.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} \frac{1}{- 0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} (- \frac{1}{0.1}) d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 4.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{0.1}$ .

$0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} - \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$0.1 (- \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 6

اضرب $- 1$ في $0.1$ .

$- 0.1 \int_{- 0.2}^{- 0.3} \frac{e^{u}}{0.1} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{0.1}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{0.1}$ خارج التكامل.

$- 0.1 (\frac{1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اجمع $\frac{1}{0.1}$ و $- 0.1$ .

$\frac{- 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 8.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 0.1$ و $0.1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

أعِد كتابة $- 0.1$ بالصيغة $- 1 (0.1)$ .

$\frac{- 1 (0.1)}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 1 \cdot 0.1}{0.1} \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 8.2.3

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- \int_{- 0.2}^{- 0.3} e^{u} d u + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 9

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + \int_{2}^{3} \frac{2}{a} d a$

خطوة 10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 \int_{2}^{3} \frac{1}{a} d a$

خطوة 11

تكامل $\frac{1}{a}$ بالنسبة إلى $a$ هو $\ln (| a |)$ .

$- (e^{u}]_{- 0.2}^{- 0.3}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

خطوة 12

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احسِب قيمة $e^{u}$ في $- 0.3$ وفي $- 0.2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| a |)]_{2}^{3})$

خطوة 12.2

احسِب قيمة $\ln (| a |)$ في $3$ وفي $2$ .

$- ((e^{- 0.3}) - e^{- 0.2}) + 2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |))$

خطوة 12.3

احذِف الأقواس.

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 2 |))$

خطوة 13

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- (e^{- 0.3} - e^{- 0.2}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (e^{- 0.3} - \frac{1}{e^{0.2}}) + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

خطوة 14.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- e^{- 0.3} - - \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

خطوة 14.3

اضرب $- - \frac{1}{e^{0.2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- e^{- 0.3} + 1 \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

خطوة 14.3.2

اضرب $\frac{1}{e^{0.2}}$ في $1$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

خطوة 14.4

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{| 2 |})$

خطوة 14.5

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$- e^{- 0.3} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

خطوة 14.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

خطوة 15

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$- \frac{1}{e^{0.3}} + \frac{1}{e^{0.2}} + 2 \ln (\frac{3}{2})$

الصيغة العشرية:

$0.88884274 \dots$

خطوة 16