حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{3} {(2 + 2 x)}^{2} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 2 + 2 x$ . إذن $d u = 2 d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 2 + 2 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $2 + 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 2 x]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$0 + 2$

خطوة 1.1.4

أضف $0$ و $2$ .

$2$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 2 + 2 x$ .

$u_{lower} = 2 + 2 \cdot 2$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$u_{lower} = 2 + 4$

خطوة 1.3.2

أضف $2$ و $4$ .

$u_{lower} = 6$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 2 + 2 x$ .

$u_{upper} = 2 + 2 \cdot 3$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

اضرب $2$ في $3$ .

$u_{upper} = 2 + 6$

خطوة 1.5.2

أضف $2$ و $6$ .

$u_{upper} = 8$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 6$

$u_{upper} = 8$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{6}^{8} u^{2} \frac{1}{2} d u$

خطوة 2

اجمع $u^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{6}^{8} \frac{u^{2}}{2} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{6}^{8} u^{2} d u$

خطوة 4

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{3} u^{3}]_{6}^{8}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $\frac{1}{3} u^{3}$ في $8$ وفي $6$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 8^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 512 - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و $512$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 6^{3})$

خطوة 5.2.3

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - \frac{1}{3} \cdot 216)$

خطوة 5.2.4

اضرب $216$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 216 (\frac{1}{3}))$

خطوة 5.2.5

اجمع $- 216$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 216}{3})$

خطوة 5.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $- 216$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $- 216$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3})$

خطوة 5.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)})$

خطوة 5.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1})$

خطوة 5.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 72}{1})$

خطوة 5.2.6.2.4

اقسِم $- 72$ على $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 72)$

خطوة 5.2.7

لكتابة $- 72$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} - 72 \cdot \frac{3}{3})$

خطوة 5.2.8

اجمع $- 72$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{512}{3} + \frac{- 72 \cdot 3}{3})$

خطوة 5.2.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{512 - 72 \cdot 3}{3}$

خطوة 5.2.10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.10.1

اضرب $- 72$ في $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{512 - 216}{3}$

خطوة 5.2.10.2

اطرح $216$ من $512$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{296}{3}$

خطوة 5.2.11

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{296}{3}$ .

$\frac{296}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.2.12

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{296}{6}$

خطوة 5.2.13

احذِف العامل المشترك لـ $296$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.1

أخرِج العامل $2$ من $296$ .

$\frac{2 (148)}{6}$

خطوة 5.2.13.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.13.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 148}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.2.13.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 148}{2 \cdot 3}$

خطوة 5.2.13.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{148}{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{148}{3}$

الصيغة العشرية:

$49.\overline{3}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$49 \frac{1}{3}$

خطوة 7