حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{2}^{3} \frac{2 + u^{2}}{u^{3}} d u$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

انقُل $u^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) {(u^{3})}^{- 1} d u$

خطوة 1.2

اضرب الأُسس في ${(u^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{3 \cdot - 1} d u$

خطوة 1.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\int_{2}^{3} (2 + u^{2}) u^{- 3} d u$

خطوة 2

اضرب $(2 + u^{2}) u^{- 3}$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2} u^{- 3} d u$

خطوة 3

اضرب $u^{2}$ في $u^{- 3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{2 - 3} d u$

خطوة 3.2

اطرح $3$ من $2$ .

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} + u^{- 1} d u$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{2}^{3} 2 u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

خطوة 5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{2}^{3} u^{- 3} d u + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 3}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$2 (- \frac{1}{2} u^{- 2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $u^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{u^{- 2}}{2}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

خطوة 7.2

انقُل $u^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \int_{2}^{3} u^{- 1} d u$

خطوة 8

تكامل $u^{- 1}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$2 (- \frac{1}{2 u^{2}}]_{2}^{3}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

خطوة 9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{2 u^{2}}$ في $3$ وفي $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + \ln (| u |)]_{2}^{3}$

خطوة 9.1.2

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $3$ وفي $2$ .

$2 ((- \frac{1}{2 \cdot 3^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$2 (- \frac{1}{2 \cdot 9} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.2

اضرب $2$ في $9$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2}}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.3

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{2 \cdot 4}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.4

اضرب $2$ في $4$ .

$2 (- \frac{1}{18} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.5

لكتابة $- \frac{1}{18}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.6

لكتابة $\frac{1}{8}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{1}{18} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.7

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $72$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.7.1

اضرب $\frac{1}{18}$ في $\frac{4}{4}$ .

$2 (- \frac{4}{18 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.7.2

اضرب $18$ في $4$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{1}{8} \cdot \frac{9}{9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.7.3

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{9}{9}$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{8 \cdot 9}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.7.4

اضرب $8$ في $9$ .

$2 (- \frac{4}{72} + \frac{9}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{- 4 + 9}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.9

أضف $- 4$ و $9$ .

$2 (\frac{5}{72}) + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.10

اجمع $2$ و $\frac{5}{72}$ .

$\frac{2 \cdot 5}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.11

اضرب $2$ في $5$ .

$\frac{10}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $72$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.12.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$\frac{2 (5)}{72} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $72$ .

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.1.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5}{36} + (\ln (| 3 |)) - \ln (| 2 |)$

$\frac{5}{36} + \ln (| 3 |) - \ln (| 2 |)$

خطوة 9.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{| 3 |}{| 2 |})$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $3$ تساوي $3$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{| 2 |})$

خطوة 9.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

خطوة 10

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{5}{36} + \ln (\frac{3}{2})$

الصيغة العشرية:

$0.54435399 \dots$

خطوة 11