حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 16 \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

خطوة 1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$16 \int \tan^{4} (x) \sec^{6} (x) d x$

خطوة 2

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة $6$ في صورة $4$ زائد $2$

$16 \int \tan^{4} (x) {\sec (x)}^{4 + 2} d x$

خطوة 2.2

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{4 + 2}$ بالصيغة $\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) (\sec^{4} (x) \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 2.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({\sec (x)}^{2 (2)} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 2.4

أعِد كتابة ${\sec (x)}^{2 (2)}$ في صورة أُس.

$16 \int \tan^{4} (x) ({(\sec^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 3

باستخدام متطابقة فيثاغورس، أعِد كتابة $\sec^{2} (x)$ بحيث تصبح $1 + \tan^{2} (x)$ .

$16 \int \tan^{4} (x) ({(1 + \tan^{2} (x))}^{2} \sec^{2} (x)) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = \tan (x)$ . إذن $d u = \sec^{2} (x) d x$ ، لذا $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = \tan (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

خطوة 4.1.2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$16 \int u^{4} {(1 + u^{2})}^{2} d u$

خطوة 5

وسّع $u^{4} {(1 + u^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة ${(1 + u^{2})}^{2}$ بالصيغة $(1 + u^{2}) (1 + u^{2})$ .

$16 \int u^{4} ((1 + u^{2}) (1 + u^{2})) d u$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$16 \int u^{4} (1 (1 + u^{2}) + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} (1 + u^{2})) d u$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2} + u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 5.5

طبّق خاصية التوزيع.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1 + 1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 5.6

طبّق خاصية التوزيع.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1 + u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 5.7

طبّق خاصية التوزيع.

$16 \int u^{4} (1 \cdot 1) + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 5.8

انقُل $u^{4}$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + u^{4} (1 u^{2}) + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 5.9

أعِد ترتيب $u^{4}$ و $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (u^{2} \cdot 1) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 5.10

أعِد ترتيب $u^{2}$ و $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + u^{4} (1 \cdot u^{2}) + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 5.11

أعِد ترتيب $u^{4}$ و $1$ .

$16 \int 1 \cdot 1 u^{4} + 1 \cdot u^{4} u^{2} + 1 \cdot u^{4} \cdot u^{2} + u^{4} (u^{2} u^{2}) d u$

خطوة 5.12

اضرب $1$ في $1$ .

$16 \int 1 u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.13

اضرب $u^{4}$ في $1$ .

$16 \int u^{4} + 1 u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.14

اضرب $u^{4}$ في $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{4} u^{2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$16 \int u^{4} + u^{4 + 2} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.16

أضف $4$ و $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + 1 u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.17

اضرب $u^{4}$ في $1$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4} u^{2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{4 + 2} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.19

أضف $4$ و $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4} u^{2} u^{2} d u$

خطوة 5.20

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{4 + 2} u^{2} d u$

خطوة 5.21

أضف $4$ و $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6} u^{2} d u$

خطوة 5.22

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{6 + 2} d u$

خطوة 5.23

أضف $6$ و $2$ .

$16 \int u^{4} + u^{6} + u^{6} + u^{8} d u$

خطوة 5.24

أضف $u^{6}$ و $u^{6}$ .

$16 \int u^{4} + 2 u^{6} + u^{8} d u$

خطوة 5.25

أعِد ترتيب $2 u^{6}$ و $u^{8}$ .

$16 \int u^{4} + u^{8} + 2 u^{6} d u$

خطوة 5.26

انقُل $u^{4}$ .

$16 \int u^{8} + 2 u^{6} + u^{4} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$16 (\int u^{8} d u + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{8}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{9} u^{9}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + \int 2 u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 \int u^{6} d u + \int u^{4} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{6}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \int u^{4} d u)$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{4}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{1}{7} u^{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اجمع $\frac{1}{7}$ و $u^{7}$ .

$16 (\frac{1}{9} u^{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 11.1.2

اجمع $\frac{1}{9}$ و $u^{9}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

خطوة 11.1.3

اجمع $\frac{1}{5}$ و $u^{5}$ .

$16 (\frac{u^{9}}{9} + C + 2 (\frac{u^{7}}{7} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

خطوة 11.2

بسّط.

$16 (\frac{u^{9}}{9} + \frac{2 u^{7}}{7} + \frac{u^{5}}{5}) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\tan (x)$ .

$16 (\frac{\tan^{9} (x)}{9} + \frac{2 \tan^{7} (x)}{7} + \frac{\tan^{5} (x)}{5}) + C$

خطوة 13

أعِد ترتيب الحدود.

$16 (\frac{1}{9} \tan^{9} (x) + \frac{2}{7} \tan^{7} (x) + \frac{1}{5} \tan^{5} (x)) + C$