حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 16 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

خطوة 1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $16$ خارج التكامل.

$16 \int x^{2} e^{4 x^{3}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . إذن $d u_{2} = 12 x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ ، لذا $\frac{1}{12} d u_{2} = x^{2} e^{4 x^{3}} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u_{2} = e^{4 x^{3}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{4 x^{3}}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

خطوة 2.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x^{3}$ .

$e^{4 x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

خطوة 2.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$e^{4 x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{4 x^{3}} (4 (3 x^{2}))$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $4$ .

$e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$

خطوة 2.1.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{4 x^{3}} (12 x^{2})$ .

$12 e^{4 x^{3}} x^{2}$

خطوة 2.1.4.2

أعِد ترتيب العوامل في $12 e^{4 x^{3}} x^{2}$ .

$12 x^{2} e^{4 x^{3}}$

خطوة 2.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$16 \int \frac{1}{12} d u_{2}$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$

خطوة 4

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة $16 (\frac{1}{12} u_{2} + C)$ بالصيغة $16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$ .

$16 (\frac{1}{12}) u_{2} + C$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $16$ و $\frac{1}{12}$ .

$\frac{16}{12} u_{2} + C$

خطوة 4.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $16$ .

$\frac{4 (4)}{12} u_{2} + C$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

خطوة 4.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3} u_{2} + C$

خطوة 4.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4}{3} u_{2} + C$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $e^{4 x^{3}}$ .

$\frac{4}{3} e^{4 x^{3}} + C$