حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{e} \frac{1 - \ln (x)}{x} d x$

خطوة 1

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} + \frac{- \ln (x)}{x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- \ln (x)}{x} d x$

خطوة 3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{\ln (x)}{x} d x$

خطوة 6

لنفترض أن $u = \ln (x)$ . إذن $d u = \frac{1}{x} d x$ ، لذا $x d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = \ln (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

خطوة 6.1.2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

خطوة 6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (1)$

خطوة 6.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (e)$

خطوة 6.5

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - \int_{0}^{1} u d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{1})$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $e$ وفي $1$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{1})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\frac{u^{2}}{2}$ في $1$ وفي $0$ .

$(\ln (| e |)) - \ln (| 1 |) - ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

خطوة 9.3.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{2})$

خطوة 9.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

خطوة 9.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 9.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

خطوة 9.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - \frac{0}{1})$

خطوة 9.3.3.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} - 0)$

خطوة 9.3.4

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - (\frac{1}{2} + 0)$

خطوة 9.3.5

أضف $\frac{1}{2}$ و $0$ .

$\ln (| e |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

خطوة 10

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

$e$ تساوي تقريبًا $2.71828182$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\ln (\frac{e}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

خطوة 11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\ln (\frac{e}{1}) - \frac{1}{2}$

خطوة 11.3

اقسِم $e$ على $1$ .

$\ln (e) - \frac{1}{2}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$1 - \frac{1}{2}$

خطوة 12.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 12.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 - 1}{2}$

خطوة 12.4

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$